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up:
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- "[[fonction récursive primitive]]"
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tags:
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- s/maths/logique
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- s/informatique
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aliases:
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> [!definition] [[fonction d'ackermann de cori et lascar]]
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> [[fonction d'Ackermann]] modifiée pour la simplicité des preuves.
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> On la note $\xi$, et on la définit comme suit :
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> - $\forall x \in \mathbb{N},\quad \xi(0, x) = 2^{x}$
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> - $\forall y,\quad \xi(y, 0) = 1$
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> - $\forall x, y \in \mathbb{N},\quad \xi(y+1, x+1) = \xi(y, \xi(y+1, x))$
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>
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> On pourra aussi noter :
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> $\xi _{n}(x) = \xi(n, x)$ (définie comme $\xi _{n} := \lambda x. \xi(n, x)$)
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> La relation de récurrence est alors : $\xi _{n+1}(x+1) = \xi _{n}(\xi _{n+1}(x))$
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Unicité
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> La définition donnée désigne bien une unique fonction.
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > On utilise la notation $\xi _{n}$ et la récurrence :
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> > $\begin{cases} \xi _{n}(0) = 1\\ \xi _{n}(x+1) = \xi _{n-1}(\xi _{n}(x)) \end{cases}$
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> > Cela établit clairement que chaque $\xi _{n}$ est bien définie, et donc que $\xi$ est unique.
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> [!proposition]+ Lemme 1 : $\xi _{n}(x)>x$
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> Pour tout entiers $x$ et $n$ on a $\xi _{n}(x) > x$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > On utilise deux récurrences emboîtées :
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> > Par récurrence sur $n$, on montre que $\forall x \in \mathbb{N},\quad \xi _{n}(x)>x$
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> > - **Initialisation** :
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> > Pour $n = 0$ la propriété est évidente : $\xi_0(x) = 2^{x} > x$
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> > - **Récurrence :**
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> > Fixons $n>0$ et supposons que $\forall x \in \mathbb{N},\quad \xi_{n-1}(x)>x$
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> > On veut alors montrer que $\forall x \in \mathbb{N},\quad \xi _{n}(x)>x$
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> > Pour cela, on fait une récurrence sur $x$ :
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> > - **Initialisation** sur $x$ :
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> > La propriété est claire pour $x=0$, puisque $\xi _{n}(0) = 1$
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> > - **Récurrence** sur $x$ :
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> > On suppose que $\xi _{n}(x)>x$ et on va montrer que $\xi _{n}(x+1)>x+1$
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> > On sait que $\xi _{n}(x+1) = \xi _{n-1}(\xi _{n}(x))$
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> > Par nos suppositions, on sait que $\xi _{n-1}(\xi _{n}(x)) > \xi _{n}(x)$ (puisque $\forall x \in \mathbb{N},\quad \xi _{n-1}(x)>x$).
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> > On peut donc affirmer que $\xi _{n-1}(\xi _{n}(x)) \geq \xi _{n}(x)+1$ (on ajoute $1$ artificiellement)
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> > Encore par suppositions, on a que $\xi _{n}(x)>x$
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> > Ainsi on obtient :
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> > $\xi _{n}(x+1) = \xi _{n-1}(\xi _{n}(x)) \geq \xi _{n}(x)+1 > x+1$
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> > Ce qui montre bien la relation de récurrence
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> >
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^lemme 1
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^lemme-1
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> [!proposition] Lemme 2 – $\xi _{n}(x+1) > \xi _{n}(x)$
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> Pour tout entiers $x$ et $n$ on a $\xi _{n}(x+1) > \xi _{n}(x)$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > On procède par récurrence sur $n$ :
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> > - **Initialisation** $n=0$ :
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> > $\xi_0(x+1) = 2^{x+1} > 2^{x} = \xi _{0}(x+1)$
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> > - **Récurrence** pour un $n$ fixé on suppose $\xi _{n}(x+1) > \xi _{n}(x)$
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> > On veut alors montrer que $\xi _{n+1}(x+1) > \xi _{n+1}(x)$
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> > $\xi _{n+1}(x+1) = \underbrace{\xi _{n}(\xi _{n+1}(x)) > \xi _{n+1}(x)}_{\text{par le lemme 1}}$ ([[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-1|Lemme 1]])
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^lemme-2
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> [!proposition] Lemme 3 – $\xi_{n}(x) \geq \xi_{n-1}(x)$
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> Pour tout $n \geq 1$ et pour tout $x$ on a $\xi_{n}(x) \geq \xi_{n-1}(x)$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > On procède par récurrence sur $x$ :
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> > - **Initialisation :** pour $x=0$
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> > On a $\xi_{n}(0) = 1 \geq 1 = \xi_{n-1}(0)$
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> > - **Récurrence :** pour un $x$ fixé, on suppose $\xi_{n}(x)\geq \xi_{n-1}(x)$
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> > On veut alors montrer que $\xi_{n}(x+1)\geq \xi_{n-1}(x+1)$
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> > On sait que $\xi_{n}(x) \geq x+1$ ([[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-1|Lemme 1]])
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> > Et comme $\xi_{n-1}$ est croissante ([[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-2|Lemme 2]]) on a $\xi_{n-1}(\xi_{n}(x)) \geq \xi_{n-1}(x+1)$
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> > Or $\xi_{n}(x+1) = \xi_{n-1}(\xi_{n}(x))$ (par la définition par récurrence de $\xi_{n}$)
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> > Donc $\xi _{n}(x+1) = \xi _{n-1}(\xi _{n}(x)) \geq \xi _{n-1}(x+1)$
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^lemme-3
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> [!definition] Fonctions $\xi _{n}^{k}$ (itération de $\xi _{n}$)
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> Si $k$ est un entiers, notons $\xi _{n}^{k}$ la fonction $\xi _{n}$ itérée $k$ fois :
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> - $\xi _{n}^{0} = \lambda x.x$
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> - $\xi _{n}^{1} = \xi _{n}$
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> - $\vdots$
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> - $\xi _{n}^{k+1} = \xi _{n} \circ \xi _{n}^{k}$
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> [!proposition] Lemme 4 – propriétés trivialles des $\xi _{n}^{k}$
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> - Les fonctions $\xi _{n}^{k}$ sont strictement croissantes
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> - dem évident puisque $\lambda x.x$ et les $\xi _{n}$ sont croissantes ([[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-2|Lemme 2]])
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> Pour tous $m, n, k, h, x \in \mathbb{N}$ on a :
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> - $\xi _{n}^{k}(x) < \xi _{n}^{k+1}(x)$
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> - dem par changement de variable $X = \xi _{n}^{k}(x)$ on obtient $X < \xi _{n}(X)$ ce qui est vrai ([[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-2|Lemme 2]])
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> - $\xi _{n}^{k}(x) \geq x$
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> - dem $\xi _{n}^{0}(x) = x \geq x$, or on vu plus haut que $\xi _{n}^{k+1}(x) > \xi _{n}^{k}(x)$
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> - $\xi _{n}^{k} \circ \xi _{n}^{h} = \xi _{n}^{k+h}$
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> - dem cela est assez évident par définition
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> - si $m \leq n$ alors $\xi _{m}^{k}(x) \leq \xi _{n}^{k}(x)$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > On procède par récurrence sur $k$ :
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> > - **Initialisation :** $\xi _{m}^{0} = \xi _{n}^{0} = \lambda x. x$ donc l'inégalité est triviallement vraie
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> > - **Récurrence :**
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> > On suppose $\xi _{m}^{k}(x) \leq \xi _{n}^{k}(x)$ et on veut montrer que $\xi _{m}^{k+1}(x) \leq \xi _{n}^{k+1}(x)$.
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> > On sait (par définition) que :
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> > $\xi _{m}^{k+1}(x) = \xi _{m} \circ \xi _{m}^{k}(x)$
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> > $\xi _{n}^{k+1}(x) = \xi _{n} \circ \xi _{n}^{k}(x)$
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> > Or, par le [[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-3|Lemme 3]] on sait que $\xi _{n}(X) \geq \xi _{n-1}(X) \geq \xi _{n-2}(X) \geq \cdots \geq \xi _{m}(X)$, ce qui permet d'obtenir $\xi _{n}(X) \geq \xi _{m}(X)$.
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> > Comme toutes ces fontions $\xi _{n} \dots \xi _{m}$ sont strictement croissantes, cela nous donne aussi que :
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> > $X \geq Y \implies \xi _{n}(X) \geq \xi _{n}(Y) \geq \xi _{m}(Y)$
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> > ce qui établit que $X \geq Y \implies \xi _{n}(X) \geq \xi _{m}(Y)$
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> > Et, en particulier, comme on a supposé que $\xi _{n}^{k}(x) \geq \xi _{m}^{k}(x)$, on peut donc conclure que $\xi _{n}\circ \xi _{n}^{k}(x) \geq \xi _{m} \circ \xi _{m}^{k}(x)$, autrement dit :
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> > $\xi _{n}^{k+1}(x) \geq \xi _{m}^{k+1}(x)$
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> >
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^lemme-4
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## Domination
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> [!definition] fonction dominant une autre
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> Soient $f \in \mathscr{F}_{1}$ et $g \in \mathscr{F}_{p}$
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> On dit que **$f$ domine $g$** s'il existe un entier $A$ tel que pour tout $(x_1, x_2, \dots, x_{p})$ on aie $g(x_1, x_2, \dots, x_{p}) \leq f(\sup\limits(x_1, x_2, \dots, x_{p}, A))$.
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> en une ligne :
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> $\boxed{f \text{ domine } g \iff \exists A \in \mathbb{N},\quad \forall \overline{x} \in \mathbb{N}^{p},\quad g(\overline{x}) \leq f(\sup\limits(\overline{x}, A))}$
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> [!definition]+ $C_{n}$
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> On appellera $C_{n}$ l'ensemble des fonctions qui sont dominées par au moins une itérée de $\xi _{n}$ :
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> $\boxed{C_{n} = \{ g \mid \exists k \in \mathbb{N} ,\quad \xi _{n}^{k} \text{ domine } g \}}$
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> [!proposition]+ Quelques fonctions dans $C_{0}$
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> Les fonctions suivantes appartiennent à $C_0$ :
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> - Les fonctions de projection $P_{p}^{i}$
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> - dem $P_{p}^{i}(\overline{x}) \leq \xi _{0}^{0}(\sup\limits(\overline{x}, 0))$ puisque $\xi _{0}^{0} = \lambda x.x$
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> - Les fonctions constantes
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> - dem $(\lambda \overline{x}. c) \leq \xi_0^{0}(\sup\limits(\overline{x}, c))$ puisque $\xi_0^{0} = \lambda x.x$
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> - La fonction successeur $S$
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> - dem $S(x) \leq \xi_0^{1}(\sup\limits(x, 0))$ puisque $\xi_0^{1}(x) = 2^{x} \geq x+1$
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> - La fonction addition $\lambda xy. x+y$
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> - dem $(\lambda xy. x+y)(x, y) \leq \xi _{0}^{1}(\sup\limits(x, y, 1))$ puisque $x+y \leq 2^{\sup\limits(x, y, 1)}$
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> - Les fonction linéaires $\lambda x. kx$ où $k$ est un entier quelconque
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> - dem $(\lambda x. kx)(x) \leq f(\sup\limits(x, k))$
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> - i on utilise la notation $\overline{x}$, voir [[fonction récursive primitive#^notations|notation ̅x]]
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> [!proposition]+ $\xi _{n} \in C_{n}$
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> La fonction $\xi _{n}$ appartient à $C_{n}$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > On sait que $\forall x,\quad \xi _{n}(x) \geq x$ ([[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-1|Lemme 1]])
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> > Donc, $\forall x,\quad, \xi _{n}^{2}(x) = \xi _{n}(\xi _{n}(x)) \geq \xi _{n}(x)$
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> > Ainsi, on peut affirmer que $\exists k,\quad \exists A,\forall x,\quad \xi _{n}(x) \leq \xi _{n}^{k}(\sup\limits(x, A))$
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> > puisque c'est vrai en particulier pour $k = 2$ et $A = 0$ (en effet, $\sup\limits(x, 0) = x$ car on est sur $\mathbb{N}$)
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> > Cela établit bien que $\xi _{n} \in C_{n}$
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> [!proposition]+ Stabilité par fonction inférieure
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> Soient $f, g \in \mathscr{F}_{p}$
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> Si $g \in C_{n}$ et si $\forall \overline{x},\quad f(\overline{x}) \leq g(\overline{x})$ (si $f$ est toujours inférieure à $g$)
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> alors $f \in C_{n}$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Cela est assez évident :
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> > Puisque $g \in C_{n}$, on sait que $\exists k,\quad \exists A,\quad \forall \overline{x},\quad g(\overline{x}) \leq \xi _{n}(\sup\limits(\overline{x}, A))$
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> > Et comme $\forall \overline{x},\quad f(\overline{x}) \leq g(\overline{x})$ on obtient directement :
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> > $\exists k,\quad \exists A,\quad \forall \overline{x},\quad f(\overline{x}) {\color{#606060}\,\leq g(\overline{x}) \leq\,} \xi _{n}(\sup\limits(\overline{x}, A))$
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> > Ce qui montre bien que $\exists k,\quad \xi _{n} \text{ domine } f$ et donc que $f \in C_{n}$
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> [!proposition]+ Lemme 5 – Clôture par composition
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> Soient $f_1, f_2, \dots, f_{m} \in \mathscr{ F_{p}} \cap C_{n}$ des fonctions à $p$ variables de $C_{n}$
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> Soit $g$ une fonction à $m$ variables de $C_{n}$
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> $g(f_1, f_2, \dots, f_{m})$ est aussi dans $C_{n}$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Comme $f_1, f_2, \dots, f_{m}$ et $g$ sont dans $C_{n}$, on sait qu'il y à des entiers $k_1, k_2, \dots, k_{m}, k$ et $A_1, A_2, \dots, A_{m}, A$ tels que :
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> > $\forall 1 \leq i \leq m,\quad \forall \overline{x},\quad f_{i}(\overline{x}) \leq \xi _{n}^{k_{i}}(\sup\limits(\overline{x}, A_{i}))$
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> > et $\forall \overline{x},\quad g(\overline{x}) g= \xi _{n}^{k}(\sup\limits(\overline{x}, A))$
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> > Posons $B = \sup\limits(A_1, A_2, \dots, A_{m}, A)$ et $h = \sup\limits(k_1, k_2, \dots, k_{m})$
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> > Il est alors évident que :
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> > $\forall 1 \leq i \leq m,\quad \forall \overline{x}, f_{i}(\overline{x}) \leq \xi _{n}^{h}(\sup\limits(\overline{x}, B))$
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> > et que $\forall \overline{x},\quad g(\overline{x})\leq \xi _{n}^{k}(\sup\limits(\overline{x}, B))$
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> > Alors, en passant les $f_1, f_2, \dots, f_{m}$ en argument de $g$ on obtient :
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> > $\forall \overline{x},\quad g(f_1(\overline{x}), f_2(\overline{x}), \dots, f_{m}(\overline{x})) \leq \xi _{n}^{k}(\sup\limits(f_1(\overline{x}), f_2(\overline{x}), \dots, f_{m}(\overline{x}), B))$
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> > Et, par la majoration de tous les $f_{i}$ que l'on a déjà faîte (et car $\xi _{n}^{k}$ est croissante et respecte $\xi _{n}^{k}(x) > x$) , on obtient :
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> > $\forall \overline{x},\quad g(f_1(\overline{x}), f_2(\overline{x}), \dots, f_{m}(\overline{x})) \leq \xi _{n}^{k}(\xi _{n}^{h}(\sup\limits(\overline{x}, B)))$
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> > Or, par les propriétés du [[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-4|Lemme 4]] on a $\xi _{n}^{k} \circ \xi _{n}^{h} = \xi _{n}^{k+h}$, donc :
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> > $\forall \overline{x},\quad g(f_1(\overline{x}), f_2(\overline{x}), \dots, f_{m}(\overline{x})) \leq \xi _{n}^{k+h}(\sup\limits(\overline{x}, B))$
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> > Ce qui montre bien que $g(f_1, f_2, \dots, f_{m}) \in C_{n}$
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^lemme-5
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> [!proposition]+ Lemme 6
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> Pour tous entiers $n, k$ et $x$ on a :
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> $\xi _{n}^{k}(x) \leq \xi _{n+1}(x+k)$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > On procède par récurrence sur $k$
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> > - **Initialisation :** Pour $k=0$ et $k=1$, l'égalité est claire par croissance de $\xi _{n}$
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> > - **Récurrence :** Supposons que $\xi _{n}^{k}(x) \leq \xi _{n+1}(x+k)$
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> > $\xi _{n}^{k+1}(x) = \xi _{n} \circ \xi _{n}^{k}(x) \underbrace{\leq \xi _{n}(\xi _{n+1}(x+k))}_{\text{par hypothèse}} \underbrace{=\xi _{n}(x+k+1)}_{\text{par définition de }\xi _{n}}$
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^lemme-6
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> [!proposition]+ Lemme 7
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> Soient $g \in \mathscr{F}_{p}$ et $h \in \mathscr{F}_{p+2}$
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> Si $g$ et $h$ sont dans $C_{n}$
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> Alors la fonction $f$ [[fonction récursive primitive#^definition|définie par récurrence à partir]] de $g$ et $h$ ($f = \rho(g, h)$) appartient à $C_{n+1}$
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# Exemples
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