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EXERCICE 1 (6 points )

(Commun à tous les candidats)

Partie A

On considère la fonction f définie sur l’ensemble \mathbb{R} des nombres réels par : f (x) = \frac{7}{2} - \frac{1}{2}(e^{ x } - e^{ -x })

1)

a) Déterminer la limite de la fonction f en +\infty

On a : \begin{align} \lim\limits_{ x \to \infty } f(x) &= \lim\limits_{ x \to \infty } \left( \frac{7}{2} - \frac{1}{2}(e^{ x } - e^{ -x }) \right) \\&= \frac{7}{2} - \frac{1}{2}\lim\limits_{ x \to \infty } e^{ ^{x} } - e^{ -x } \\&= \frac{7}{2} - \infty \\&= -\infty\end{align}

b) Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; +∞[

On sait que x \mapsto e^{ x } est croissante sur cet intervalle, et supérieure à 1

c) Montrer que l’équation f (x) = 0 admet, sur l’intervalle [0 ; +∞[, une unique solution, que l’on note \alpha.

2) En remarquant que, pour tout réel x, f (−x) = f (x), justifier que l’équation f (x) = 0 admet exactement deux solutions dans \mathbb{R} et qu’elles sont opposées