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# EXERCICE 1 (6 points )
(Commun à tous les candidats)
## Partie A
On considère la fonction $f$ définie sur l’ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels par :
$f (x) = \frac{7}{2} - \frac{1}{2}(e^{ x } - e^{ -x })$
### 1)
#### a) Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$
On a :
$\begin{align} \lim\limits_{ x \to \infty } f(x) &= \lim\limits_{ x \to \infty } \left( \frac{7}{2} - \frac{1}{2}(e^{ x } - e^{  -x  }) \right) \\&= \frac{7}{2} - \frac{1}{2}\lim\limits_{ x \to \infty } e^{ ^{x} } - e^{ -x } \\&= \frac{7}{2} - \infty \\&= -\infty\end{align}$
#### b) Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[0 ; +∞[$
On sait que $x \mapsto e^{ x }$ est croissante sur cet intervalle, et supérieure à 1
#### c) Montrer que l’équation $f (x) = 0$ admet, sur l’intervalle $[0 ; +∞[$, une unique solution, que l’on note $\alpha$.

### 2) En remarquant que, pour tout réel $x$, $f (−x) = f (x)$, justifier que l’équation $f (x) = 0$ admet exactement deux solutions dans $\mathbb{R}$ et qu’elles sont opposées