oskar
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- "[[fonction récursive primitive]]"
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tags:
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- s/maths/logique
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- s/informatique
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aliases:
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> [!definition] [[fonction d'ackermann de cori et lascar]]
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> [[fonction d'Ackermann]] modifiée pour la simplicité des preuves.
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> On la note $\xi$, et on la définit comme suit :
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> - $\forall x \in \mathbb{N},\quad \xi(0, x) = 2^{x}$
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> - $\forall y,\quad \xi(y, 0) = 1$
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> - $\forall x, y \in \mathbb{N},\quad \xi(y+1, x+1) = \xi(y, \xi(y+1, x))$
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>
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> On pourra aussi noter :
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> $\xi _{n}(x) = \xi(n, x)$
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Unicité
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> La définition donnée désigne bien une unique fonction.
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > On utilise la notation $\xi _{n}$ et la récurrence :
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> > $\begin{cases} \xi _{n}(0) = 1\\ \xi _{n}(x+1) = \xi _{n-1}(\xi _{n}(x)) \end{cases}$
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> > Cela établit clairement que chaque $\xi _{n}$ est bien définie, et donc que $\xi$ est unique.
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> [!corollaire]+ Lemme 1 : $\xi _{n}(x)>x$
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> Pour tout entiers $x$ et $n$ on a $\xi _{n}(x) > x$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > On utilise deux récurrences emboîtées :
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> > Par récurrence sur $n$, on montre que $\forall x \in \mathbb{N},\quad \xi _{n}(x)>x$
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> > - **Initialisation** :
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> > Pour $n = 0$ la propriété est évidente : $\xi_0(x) = 2^{x} > x$
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> > - **Récurrence :**
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> > Fixons $n>0$ et supposons que $\forall x \in \mathbb{N},\quad \xi_{n-1}(x)>x$
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> > On veut alors montrer que $\forall x \in \mathbb{N},\quad \xi _{n}(x)>x$
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> > Pour cela, on fait une récurrence sur $x$ :
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> > - **Initialisation** sur $x$ :
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> > La propriété est claire pour $x=0$, puisque $\xi _{n}(0) = 1$
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> > - **Récurrence** sur $x$ :
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> > On suppose que $\xi _{n}(x)>x$ et on va montrer que $\xi _{n}(x+1)>x+1$
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> > On sait que $\xi _{n}(x+1) = \xi _{n-1}(\xi _{n}(x))$
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> > Par nos suppositions, on sait que $\xi _{n-1}(\xi _{n}(x)) > \xi _{n}(x)$ (puisque $\forall x \in \mathbb{N},\quad \xi _{n-1}(x)>x$).
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> > On peut donc affirmer que $\xi _{n-1}(\xi _{n}(x)) \geq \xi _{n}(x)+1$ (on ajoute $1$ artificiellement)
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> > Encore par suppositions, on a que $\xi _{n}(x)>x$
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> > Ainsi on obtient :
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> > $\xi _{n}(x+1) = \xi _{n-1}(\xi _{n}(x)) \geq \xi _{n}(x)+1 > x+1$
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> > Ce qui montre bien la relation de récurrence
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> >
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> [!corollaire] Lemme 2 : $\xi _{n}(x+1) > \xi _{n}(x)$
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> Pour tout entiers $x$ et $n$ on a $\xi _{n}(x+1) > \xi _{n}(x)$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > On procède par récurrence sur $n$ :
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> > - **Initialisation** $n=0$ :
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> > $\xi_0(x+1) = 2^{x+1} > 2^{x} = \xi _{0}(x+1)$
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> > - **Récurrence** pour un $n$ fixé on suppose $\xi _{n}(x+1) > \xi _{n}(x)$
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> > On veut alors montrer que $\xi _{n+1}(x+1) > \xi _{n+1}(x)$
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> > $\xi _{n+1}(x+1) = \underbrace{\xi _{n}(\xi _{n+1}(x)) > \xi _{n+1}(x)}_{\text{par le lemme 1}}$
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> [!corollaire] Lemme 3 $\xi _{n}(x) \geq \xi _{n-1}(x)$
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> Pour tout $n \geq 1$ et pour tout $x$ on a $\xi _{n}(x) \geq \xi _{n-1}(x)$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> >
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# Exemples
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