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- s/maths/logique
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> [!definition] Définition
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> Soit $X$ un ensemble
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> Un **filtre** sur $X$ est un ensemble $\mathscr{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$ qui vérifie les propriétés suivantes :
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> 1. $X \in \mathscr{F}$ (contient $X$)
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> 2. Si $A, B \in \mathscr{F}$ alors $A \cap B \in \mathscr{F}$ (stabilité par intersection)
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> 3. Si $A \in \mathscr{F}$ et $A \subseteq B$ alors $B \in \mathscr{F}$ (stabilité par ?)
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>
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> Dans tous les livres, on rajoute une hypothèse :
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> - $\emptyset \notin \mathscr{F}$ (le filtre est non trivial)
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Filtre trivial
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> $\mathscr{F} = \mathcal{P}(X)$ est le **filtre trivial** sur $X$
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> - i cela est rendu impossible si on admet $\emptyset \in \mathscr{F}$
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^filtre-trivial
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> [!proposition]+ Relation d'ordre sur les filtres
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> On peut définir une relation d'ordre sur les filtres sur $X$, héritée de la relation d'inclusion dans $\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$
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^relation-d-ordre
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# Exemples
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## [[filtre de fréchet]]
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