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  - s/maths/logique
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> [!definition] Définition
> Soit $X$ un ensemble
> Un **filtre** sur $X$ est un ensemble $\mathscr{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$ qui vérifie les propriétés suivantes :
>  1. $X \in \mathscr{F}$ (contient $X$)
>  2. Si $A, B \in \mathscr{F}$ alors $A \cap B \in \mathscr{F}$ (stabilité par intersection)
>  3. Si $A \in \mathscr{F}$ et $A \subseteq B$ alors $B \in \mathscr{F}$ (stabilité par ?)
>     
> Dans tous les livres, on rajoute une hypothèse :
>  - $\emptyset \notin \mathscr{F}$ (le filtre est non trivial)
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ Filtre trivial
> $\mathscr{F} = \mathcal{P}(X)$ est le **filtre trivial** sur $X$
>  - i cela est rendu impossible si on admet $\emptyset \in \mathscr{F}$
^filtre-trivial

> [!proposition]+ Relation d'ordre sur les filtres
> On peut définir une relation d'ordre sur les filtres sur $X$, héritée de la relation d'inclusion dans $\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$
^relation-d-ordre

# Exemples

## [[filtre de fréchet]]