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[!definition] théorème de Parseval Soit f une fonction numérique ou complexe, intégrable sur [-\pi, \pi ] Soient (a_{n}) et (b_{n}) les coefficients de fourier de f Soient (c_{n}) les coefficients de fourier complexes (c_{n} = a_{n} + ib_{n})

On a : \boxed{\begin{align} \int_{-\pi }^{+\pi } |f(x)|^{2} \, dx &= 2\pi \sum\limits_{n =-\infty }^{+\infty } |c_{n}|^{2} \\ &= \pi \left[ \frac{|a_0|^{2}}{2} + \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \Big( |a_{n}|^{2} + |b_{n}|^{2} \Big) \right] \end{align}}

^definition