up:: [[série de Fourier]]
title:: 
#maths/analyse 

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> [!definition] théorème de Parseval
> Soit $f$ une fonction numérique ou complexe, intégrable sur $[-\pi, \pi ]$
> Soient $(a_{n})$ et $(b_{n})$ les [[coefficients de fourier]] de $f$
> Soient $(c_{n})$ les [[coefficients de fourier]] complexes ($c_{n} = a_{n} + ib_{n}$)
> 
> On a :
> $\boxed{\begin{align} \int_{-\pi }^{+\pi } |f(x)|^{2} \, dx  &= 2\pi \sum\limits_{n =-\infty }^{+\infty } |c_{n}|^{2} \\ &= \pi \left[ \frac{|a_0|^{2}}{2} + \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \Big( |a_{n}|^{2} + |b_{n}|^{2} \Big) \right]  \end{align}}$
> 
^definition