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up::courbe paramétrée #maths/analyse
Définition
Soit f: t\mapsto M(t) avec t\in D\subset \mathbb{R} une courbe paramétrée.
Soit t_{0}\in D
On veut définir la tangente à une courbe à f en M(t_{0})
Précision formelle
La courbe peut avoir plusieurs tangente si M(t_{0}) à une multiplicité d'un point d'une courbe paramétrée supérieure à 1.
Pour éviter cela, on supporse que f est localement simple en t_0, c'est-à-dire qu'il existe un intervalle ouvert non vide I de centre t_0 tel que l'équation M(t)=M(t_{0}) admette une et une seule solution dans D\cap I, à savoir t=t_0. On peut aussi dire que l'application f est application localement injective en t_0.
On suppose ensuite que cette condition est toujours respectée
Existance de la tangente
Définition
On dit que la courbe paramétrée f admet une tangente à une courbe en M(t_{0}) si la droite (M(t_{0})M(t)) admet une position limite quand t tend vers t_0.
Dans ce cas, la droite limite est la tangente à une courbe en M(t_0) à f