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aliases:
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- arbre
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up::[[structure de données]], [[graphe]]
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#maths #informatique/algorithmie
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Un arbre est une [[structure de données]]
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# Définition récursive
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Un arbre est défini comme une valeur, et une liste de sous-arbres.
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On appelle ce couple (valeur, liste de sous arbre) un **noeud**
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On considère généralement aussi l'arbre _nul_ (qui ne possède aucun noeuds) comme un arbre également.
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## Détails d'implémentation
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Pour une implémentation, on considère généralement un arbre comme une valeur et une liste (éventuellement vide) de sous-arbre
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# Définition mathématique
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## En théorie des graphes
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Un _arbre_ un [[graphe]] **acyclique** (qui ne possède aucun [[cycle (théorie des graphes)|cycle]]) et [[connexité (théorie des graphes)|connexe]].
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## Avec des relations
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Un _arbre_ est la donnée d'un ensemble $E$ et d'une [[relation]]
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[[relation symétrique|symétrique]] $\mathscr R$ sur $E$ telle que deux points distincts quelconques $x$ et $y$ de $E$ soient reliés par un seul chemin injectif fini, c.a.d $n+1$ points $z_0,\ldots,z_n$ de $E$ vérifiant $z_0 = x$, $\forall i<n, z_i \mathscr R z_{i+1}$ et $z_n = y$.
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# Propriétés
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- **racine** : la racine d'un arbre est le noeud que l'on définit comme celui de "départ".
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- Dans la définition récursive, c'est celui qui contient tous les sous-arbres
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- **hauteur** : la profondeur maximale d'un arbre
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- Un arbre à un seul noeud à une hauteur de 0
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- Un arbre _nul_ à une hauteur de -1
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- **profondeur** : la profondeur d'un noeud est la longueur du chemin le plus court qui le mène à la **racine** de l'arbre
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- **degré** d'un noeud : le nombre d'enfants de ce noeud
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# Exemple
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```mermaid
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graph TD
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0 --> 1
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0 --> 2
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0 --> 3
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1 --> 4
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1 --> 5
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2 --> 6
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2 --> 7
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2 --> 8
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2 --> 9
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3 --> 10
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4 --> 11
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6 --> 12
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6 --> 13
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7 --> 14
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10 --> 15
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11 --> 16
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16 --> 17
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```
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Dans cet arbre :
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- ` 0 ` est la **racine**
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- ` 4 ` et ` 5 ` sont les **enfants** de ` 1 `
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- ` 2 ` est un noeud de **degré** 4
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- ` 12 ` à une **profondeur** de 3
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L'arbre à une **hauteur** de 5
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