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aliases:
  - arbre
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up::[[structure de données]], [[graphe]]
#maths #informatique/algorithmie

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Un arbre est une [[structure de données]]


# Définition récursive
Un arbre est défini comme une valeur, et une liste de sous-arbres.
On appelle ce couple (valeur, liste de sous arbre) un **noeud**
On considère généralement aussi l'arbre _nul_ (qui ne possède aucun noeuds) comme un arbre également.

## Détails d'implémentation
Pour une implémentation, on considère généralement un arbre comme une valeur et une liste (éventuellement vide) de sous-arbre


# Définition mathématique
## En théorie des graphes
Un _arbre_ un [[graphe]] **acyclique** (qui ne possède aucun [[cycle (théorie des graphes)|cycle]]) et [[connexité (théorie des graphes)|connexe]].

## Avec des relations
Un _arbre_ est la donnée d'un ensemble $E$ et d'une [[relation]] 
[[relation symétrique|symétrique]] $\mathscr R$ sur $E$ telle que deux points distincts quelconques $x$ et $y$ de $E$ soient reliés par un seul chemin injectif fini, c.a.d $n+1$ points $z_0,\ldots,z_n$ de $E$ vérifiant $z_0 = x$, $\forall i<n, z_i \mathscr R z_{i+1}$ et $z_n = y$.


# Propriétés
- **racine** : la racine d'un arbre est le noeud que l'on définit comme celui de "départ".
    - Dans la définition récursive, c'est celui qui contient tous les sous-arbres
- **hauteur** : la profondeur maximale d'un arbre
    - Un arbre à un seul noeud à une hauteur de 0
    - Un arbre _nul_ à une hauteur de -1
- **profondeur** : la profondeur d'un noeud est la longueur du chemin le plus court qui le mène à la **racine** de l'arbre
- **degré** d'un noeud : le nombre d'enfants de ce noeud


# Exemple
```mermaid
graph TD 
0 --> 1
0 --> 2
0 --> 3
1 --> 4
1 --> 5
2 --> 6
2 --> 7
2 --> 8
2 --> 9
3 --> 10
4 --> 11
6 --> 12
6 --> 13
7 --> 14
10 --> 15
11 --> 16
16 --> 17
```

Dans cet arbre :
 - ` 0 ` est la **racine**
 - ` 4 ` et ` 5 ` sont les **enfants** de ` 1 `
 - ` 2 ` est un noeud de **degré** 4
 - ` 12 ` à une **profondeur** de 3
 
L'arbre à une **hauteur** de 5