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formule de Hadamard formule de Hadamard pour le rayon de convergence formule de Hadamard pour le rayon de convergence d'une série numérique

up:: rayon de convergence sibling:: série de fonctions citère de Cauchy title:: "\sum\limits_{n} a_{n}x^{n} : son rayon de convergence est R avec $\displaystyle\frac{1}{R} = \lim \sup |a_{n}|^{\frac{1}{n}}$" #maths/analyse

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[!definition] Formule de Hadamard pour le rayon de convergence Soit \sum\limits_{n} a_{n} x^{n} une série entière On sait que cette série converge ssi (a_{n}) est une suite de Cauchy ^definition

[!definition] Définition calculatoire Soit \sum\limits_{n} a_{n}x^{n} une série entière quelconque Soit R le rayon de convergence de cette série On a : \boxed{\frac{1}{R} = \lim \sup |a_{n}|^{\frac{1}{n}}}

Note : Si \dfrac{1}{R} = 0, on aura R = +\infty (car R \in \overline{\mathbb{R}}) ^definition