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alias: [ "formule de Hadamard", "formule de Hadamard pour le rayon de convergence", "formule de Hadamard pour le rayon de convergence d'une série numérique" ]
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up:: [[rayon de convergence]] 
sibling:: [[série de fonctions citère de Cauchy|règle de Cauchy]]
title:: "$\sum\limits_{n} a_{n}x^{n}$ : son [[rayon de convergence|rayon de CV]] est $R$ avec $\displaystyle\frac{1}{R} = \lim \sup |a_{n}|^{\frac{1}{n}}$"
#maths/analyse 

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> [!definition] Formule de Hadamard pour le [[rayon de convergence]] 
> Soit $\sum\limits_{n} a_{n} x^{n}$ une [[série entière]]
> On sait que cette série converge ssi $(a_{n})$ est une [[suite de Cauchy]]
^definition

> [!definition] Définition calculatoire
> Soit $\sum\limits_{n} a_{n}x^{n}$ une [[série entière]] quelconque
> Soit $R$ le [[rayon de convergence]] de cette série
> On a :
> $\boxed{\frac{1}{R} = \lim \sup |a_{n}|^{\frac{1}{n}}}$
> 
> **Note :** Si $\dfrac{1}{R} = 0$, on aura $R = +\infty$ (car $R \in \overline{\mathbb{R}}$)
^definition