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up:: espace métrique, boule #maths/algèbre

[!definition] partie bornée d'un espace métrique Soit (X, d) un espace métrique Une partie A \subset X est dite bornée s'il existe x_0 \in X et r > 0 tels que A \subset B(x_0, r) \exists x_0 \in X, \quad \exists r >0, \quad A \subset B(x_0, r) ^definition

Propriétés

[!info] Proposition Si A est une partie bornée de X, alors \mathrm{diam}(A) < \infty

[!démonstration] Démonstration Soient x_0 \in X et r > 0 tels que A \subset B(x_0, r) Soient x, y \in A on a x, y \in B(x_0, r), c'est-à-dire d(x, x_0) < r et d(y, x_0) < r Par l'inégalité triangulaire : \begin{align} d(x, y) &\leq d(x, x_0) + d(x_0, y)\\&\leq r +r\\ &\leq 2r \end{align} En prenant le \sup \mathrm{diam}(A) = \sup_{x, y \in A} d(x, y) \leq 2r

[!info] Proposition Soit (X, d) espace métrique soit x_0 \in X

• \forall r_1, r_2 > 0, \quad r_1 < r_2 \implies B(x_0, r_1) \subset \overline{B}(x_0, r_1) \subset B(x_0, r_2)
• Si x_1, x_2 \in X, si r_1, r_2 > 0 et si r_2 \geq r_1 + d(x_1, x_2), alors B(x_1, r_1) \subset B(x_2, r_2) et \overline{B}(x_1, r_1) \subset \overline{B}(x_2, r_2)

• démontrer la prop. précédente #task [startTime:: 07:00] ⏳ 2024-09-12