up:: [[espace métrique]], [[boule]]
#maths/algèbre 

> [!definition] partie bornée d'un espace métrique
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
> Une partie $A \subset X$ est dite **bornée** s'il existe $x_0 \in X$ et $r > 0$ tels que $A \subset B(x_0, r)$
> $\exists x_0 \in X, \quad \exists r >0, \quad A \subset B(x_0, r)$
^definition

# Propriétés

> [!info] Proposition
> Si $A$ est une partie bornée de $X$, alors $\mathrm{diam}(A) < \infty$
> > [!démonstration] Démonstration
> > Soient $x_0 \in X$ et $r > 0$ tels que $A \subset B(x_0, r)$
> > Soient $x, y \in A$
> > on a $x, y \in B(x_0, r)$, c'est-à-dire $d(x, x_0) < r$ et $d(y, x_0) < r$
> > Par l'[[inégalité triangulaire]] :
> > $\begin{align} d(x, y) &\leq d(x, x_0) + d(x_0, y)\\&\leq r +r\\ &\leq 2r \end{align}$
> > En prenant le $\sup$
> > $\mathrm{diam}(A) = \sup_{x, y \in A} d(x, y) \leq 2r$

> [!info] Proposition
> Soit $(X, d)$ [[espace métrique]]
> soit $x_0 \in X$
> - $\forall r_1, r_2 > 0, \quad r_1 < r_2 \implies B(x_0, r_1) \subset \overline{B}(x_0, r_1) \subset B(x_0, r_2)$
> - Si $x_1, x_2 \in X$, si $r_1, r_2 > 0$ et si $r_2 \geq r_1 + d(x_1, x_2)$, alors $B(x_1, r_1) \subset B(x_2, r_2)$ et $\overline{B}(x_1, r_1) \subset \overline{B}(x_2, r_2)$
- [ ] démontrer la prop. précédente #task   [startTime:: 07:00] ⏳ 2024-09-12
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