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up:: norme #maths/algèbre

[!definition] normes équivalentes Si on a deux normes \|\cdot \|_{A} et \|\cdot \|_{B} sur un même $\mathbb{R}$-espace vectoriel E. On dit que les deux normes sont équivalentes si il existe deux constances \lambda > 0 et \mu > 0 telles que : \forall x \in E, \quad \lambda \|x\|_{A} \leq \|x\|_{B} \leq \mu \|x\|_{A} ^definition

[!example] Exemples

• sur \mathbb{R}^{n}, \|\cdot \|_{1} et \|\cdot \|_{\infty} sont équivalentes (voir norme p) (démonstration de l'équivalence de la norme 1 et de la norme infini sur Rn)
• sur \mathcal{C}([0; 1], \mathbb{R}), \|\cdot \|_{1} et \|\cdot \|_{\infty} ne sont pas équivalentes (démonstration de la non équivalence de la norme 1 et de la norme infini sur l'espace des fonctions continues sur un segment) ^example

Propriétés

[!info] relation d'équivalence la relation "\|\cdot \|_{A} est équivalente à $|\cdot|_{B}$" est une relation d'équivalence

• #task démontrer que l'équivalence de normes est une relation d'équivalence [startTime:: 06:15]

[!info] espace vectoriel finis Sur un espace vectoriel fini, toutes les normes sont deux-à-deux équivalentes.