up:: [[norme]]
#maths/algèbre 

> [!definition] normes équivalentes
> Si on a deux normes $\|\cdot \|_{A}$ et $\|\cdot \|_{B}$ sur un même $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel]] $E$.
> On dit que les deux normes sont **équivalentes** si il existe deux constances $\lambda > 0$ et $\mu > 0$ telles que :
> $\forall x \in E, \quad \lambda \|x\|_{A} \leq \|x\|_{B} \leq \mu \|x\|_{A}$
^definition

> [!example] Exemples
> - sur $\mathbb{R}^{n}$, $\|\cdot \|_{1}$ et $\|\cdot \|_{\infty}$ sont équivalentes (voir [[norme p]]) ([[démonstration de l'équivalence de la norme 1 et de la norme infini sur Rn|démonstration]])
> - sur $\mathcal{C}([0; 1], \mathbb{R})$, $\|\cdot \|_{1}$ et $\|\cdot \|_{\infty}$ ne sont pas équivalentes ([[démonstration de la non équivalence de la norme 1 et de la norme infini sur l'espace des fonctions continues sur un segment|démonstration]])
^example

# Propriétés

> [!info] relation d'équivalence
> la relation "$\|\cdot \|_{A}$ est équivalente à $\|\cdot\|_{B}$" est une relation d'équivalence
- [ ] #task démontrer que l'équivalence de normes est une relation d'équivalence   [startTime:: 06:15]

> [!info] [[espace vectoriel]] finis
> Sur un [[espace vectoriel]] fini, toutes les normes sont deux-à-deux équivalentes.