cours/mesure de Lebesgue.md

up:: mesure positive d'une application author:: Henri Lebesgue #maths/intégration

[!definition] mesure de Lebesgue Il existe une unique mesure sur (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})), notée \lambda et appelée mesure de Lebesgue telle que :

1. \lambda([0; 1]) = 1 (mesure du segment unité)
2. \forall x \in \mathbb{R}, \quad \forall B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}), \quad \lambda(x+B) = \lambda(B) (invariance par translation) ^definition

Propriétés

[!proposition] Tous les singletons ont un poids nul par \lambda \forall x \in \mathbb{R}, \quad \lambda(\{ x \}) = 0

[!démonstration]- Démonstration soit \alpha = \lambda(\{ 0 \}) \in \overline{\mathbb{R}^{+}} (on veut montrer que \alpha = 0) \forall x \in \mathbb{R}, \quad \lambda(\{ x \}) = \lambda(x+\{ 0 \}) (invariance par translation) Donc, tous les singletons ont le même poids.

Soit n \in \mathbb{N}^{*}, on a n\alpha = \lambda\left( \left\{ \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \dots, 1 \right\} \right) \leq \lambda([0, 1]) = 1, par réunion disjointe des singletons (qui ont tous le même poids), et par mesures incluses. Donc, n\alpha \leq 1, soit \alpha \leq \frac{1}{n} pour tout n \in \mathbb{N}^{*}; donc, par passage à la limite, \boxed{\alpha = 0} On sait donc que tout singleton à une mesure de Lebesgue nulle.

[!proposition] Proposition \forall a, b, \in \mathbb{R}, \quad \lambda([a, b]) = \lambda([a, b[) = \lambda(]a, b]) = \lambda(]a, b[) = b-a

[!démonstration]- Démonstration On a montré que \lambda(\{ 0 \}) = 0 (prop. précédente) et que \lambda([0; 1]) = 1. Alors, comme [0; 1] = \{ 0 \} \cup ]0; 1] est une union disjointe, on a : \lambda(\{ 0 \}) + \lambda(]0; 1]) = \lambda([0; 1]) \iff 0 + \lambda(]0; 1]) = 1 \iff \lambda(]0; 1] = 1) Soit n \in \mathbb{N}^{*} \displaystyle]0; 1] = \bigcup _{k=1}^{n} \left] \frac{k-1}{n}, \frac{k}{n} \right] (réunion disjointe) donc \displaystyle\lambda(]0; 1]) = \sum\limits_{k=1}^{n} \lambda \left( \left] \frac{k-1}{n}; \frac{k}{n} \right] \right) (mesure positive d'une application#^mesure-union-disjoite) Alors : \displaystyle\lambda(]0; 1]) = \sum\limits_{k=1}^{n}\lambda \left( \frac{k-1}{n} + \left]0; \frac{1}{n}\right] \right) = n\cdot\lambda\left( \left] 0; \frac{1}{n} \right] \right) par translation Donc, \displaystyle\lambda\left( \left]0; \frac{1}{n} \right] \right) = \frac{1}{n} Si n \geq 1 avec k_1 \leq k_2 entiers \displaystyle\lambda\left( \left] \frac{k_1}{n}; \frac{k_2}{n} \right] \right) = \lambda \left( \bigcup _{l=1}^{k_2-k_1} \left] \frac{k_1+l-1}{n}; \frac{k_1+l}{n} \right] \right) = \frac{(k_2-k_1)}{n}\times \frac{1}{n} = \frac{k_2}{n} - \frac{k_1}{n}

Exemples