up:: [[mesure positive d'une application|mesure]]
author:: [[Henri Lebesgue]]
#maths/intégration 

> [!definition] [[mesure de Lebesgue]]
> Il existe une unique mesure sur $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$, notée $\lambda$ et appelée **mesure de Lebesgue** telle que :
> 1. $\lambda([0; 1]) = 1$ (mesure du segment unité)
> 2. $\forall x \in \mathbb{R}, \quad \forall B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}), \quad \lambda(x+B) = \lambda(B)$ (invariance par translation)
^definition

# Propriétés

> [!proposition] Tous les singletons ont un poids nul par $\lambda$
> $\forall x \in \mathbb{R}, \quad \lambda(\{ x \}) = 0$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > soit $\alpha = \lambda(\{ 0 \}) \in \overline{\mathbb{R}^{+}}$ (on veut montrer que $\alpha = 0$)
> > $\forall x \in \mathbb{R}, \quad \lambda(\{ x \}) = \lambda(x+\{ 0 \})$ (invariance par translation)
> > Donc, tous les singletons ont le même poids.
> > 
> > Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$, on a $n\alpha = \lambda\left( \left\{  \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \dots, 1  \right\} \right) \leq \lambda([0, 1]) = 1$, par réunion disjointe des singletons (qui ont tous le même poids), et par mesures incluses.
> > Donc, $n\alpha \leq 1$, soit $\alpha \leq \frac{1}{n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$; donc, par passage à la limite, $\boxed{\alpha = 0}$
> > On sait donc que tout singleton à une mesure de Lebesgue nulle.

> [!proposition] Proposition
> $\forall a, b, \in \mathbb{R}, \quad \lambda([a, b]) = \lambda([a, b[) = \lambda(]a, b]) = \lambda(]a, b[) = b-a$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > On a montré que $\lambda(\{ 0 \}) = 0$ (prop. précédente) et que $\lambda([0; 1]) = 1$.
> > Alors, comme $[0; 1] = \{ 0 \} \cup ]0; 1]$ est une union disjointe, on a : 
> > $\lambda(\{ 0 \}) + \lambda(]0; 1]) = \lambda([0; 1]) \iff 0 + \lambda(]0; 1]) = 1 \iff \lambda(]0; 1] = 1)$
> > Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$
> > $\displaystyle]0; 1] = \bigcup _{k=1}^{n} \left] \frac{k-1}{n}, \frac{k}{n} \right]$ (réunion disjointe)
> > donc $\displaystyle\lambda(]0; 1]) = \sum\limits_{k=1}^{n} \lambda \left( \left] \frac{k-1}{n}; \frac{k}{n} \right] \right)$ ([[mesure positive d'une application#^mesure-union-disjoite|proposition]])
> > Alors : $\displaystyle\lambda(]0; 1]) = \sum\limits_{k=1}^{n}\lambda \left( \frac{k-1}{n} + \left]0; \frac{1}{n}\right] \right) = n\cdot\lambda\left( \left] 0; \frac{1}{n} \right] \right)$ par translation
> > Donc, $\displaystyle\lambda\left( \left]0; \frac{1}{n} \right] \right) = \frac{1}{n}$
> > Si $n \geq 1$ avec $k_1 \leq k_2$ entiers
> > $\displaystyle\lambda\left( \left] \frac{k_1}{n}; \frac{k_2}{n} \right] \right) = \lambda \left( \bigcup _{l=1}^{k_2-k_1} \left] \frac{k_1+l-1}{n}; \frac{k_1+l}{n} \right] \right) = \frac{(k_2-k_1)}{n}\times \frac{1}{n} = \frac{k_2}{n} - \frac{k_1}{n}$
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# Exemples