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up:: espace affine title:: "norme signée selon le sens du vecteur directeur de la droite" #maths/algèbre #maths/géométrie

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[!definition] Mesure algébrique Soit \mathcal{E} un $\mathbb{R}^{n}$-espace affine Soit \vec{v} \in \mathbb{R}^{n} un vecteur non nul Soit d une droite de \mathcal{E} dirigée par \vec{v} Soient A\in \mathcal{E} et B \in \mathcal{E} deux points distincts

On définit sur d la mesure algébrique de [AB] (notée \overline{AB}) comme l'unique scalaire tel que \boxed{\overrightarrow{AB} = \overline{AB}\times\vec{v}}

Si \mathcal{E} est espace euclidien, on a : \overline{AB} = \begin{cases} \dfrac{\|\overrightarrow{AB}\|}{\|\vec{v}\|} & \text{ si } \overrightarrow{AB} \text{ est dans le sens de } \vec{v} \\ - \frac{\|\overrightarrow{AB}\|}{\|\vec{v}\|} & \text{ sinon}\end{cases} Et donc on a toujours \|\overrightarrow{AB}\| = \left| \overline{AB} \right|

^definition

Propriétés

• Toute droite admet une mesure
  • évident car toute droite admet un vecteur directeur