cours/loi de composition interne.md

sr-due, sr-interval, sr-ease, alias

sr-due	sr-interval	sr-ease	alias
2023-06-08	365	330	lci

up::loi de composition #maths/algèbre

Une loi de composition interne est une loi de composition qui est interne, cad. que tout composé est aussi dans l'ensemble de départ.

[!définition] Soit E un ensemble non vide. Une loi de composition interne * sur E est la donnée d'une application de E \times E dans E, qui, à un couple (x, y)\in E^2 associe un élément z\in E. On écrit : x*y = z (composée de x par y) Pour qu'une loi de composition soit interne, il faut que \forall (x,y)\in E^2, x*y\in E

[!example]

• (\{1, 2, 3\}, \times) --> \times n'est pas une LCI sur \{1, 2, 3\} car 2\times3 \not\in \{1, 2, 3\}
• (\{0, 1\}, \times) --> \times est une LCI sur \{0,1\} car \forall (x,y)\in\{0,1\}^2,\; x\times y \in \{0,1\}

Voir

• stabilité sur un ensemble
• table de cayley

Propriétés

associativité

\forall(a,b,c)\in E^3, a*(b*c)=(a*b)*c

élément neutre

\exists e\in E, \forall a\in E, a*e=e*a=a

éléments inversibles

a\in E est symétrisable ssi: \exists a'\in E, a*a' = a'*a = e

commutativité

\forall(a,b)\in E^2, a*b = b*a

distributivité

Définitions

[!definition] Itération d'un élément Soit E un ensemble muni d'une LCI * associativité, et soit a\in E. On définit l'itéré $n$-ème de a, pour n\in\mathbb N^*, noté a^{*n} par :

• a^{*1} = a
• a^{*2} = a*a
• a^{(*n)} = a^{*(n-1)}*a Si E possède un élément neutre e, on écrit a^{*0} = e. Si de plus, a est éléments inversibles, on note a^{*(-1)} = a^{-1},\, a^{*(-2)} = (a^{-1})^{*2},\, \ldots,\, a^{*(-n)} = (a^{-1})^{*n}

[!example] Exemple Soit E un ensemble non vide. On définit une loi de composition interne \Delta sur \mathscr P(E) : Soit (A, B)\in(\mathscr P(E))^2, A\Delta B = \complement_{A\cup B}(A\cap B) On appelle cette loi "Différence symétrique"