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sr-due: 2023-06-08
sr-interval: 365
sr-ease: 330
alias: "lci"
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up::[[loi de composition]]
#maths/algèbre 

Une _loi de composition interne_ est une [[loi de composition]] qui est interne, cad. que tout composé est aussi dans l'ensemble de départ.

> [!définition]
> Soit $E$ un ensemble non vide.
> Une _loi de composition interne_ $*$ sur $E$ est la donnée d'une [[application]] de $E \times E$ dans $E$, qui, à un couple $(x, y)\in E^2$ associe un élément $z\in E$.
> On écrit : $x*y = z$ (composée de $x$ par $y$)
> Pour qu'une [[loi de composition]] soit _interne_, il faut que $\forall (x,y)\in E^2, x*y\in E$


> [!example]
> - $(\{1, 2, 3\}, \times)$ --> $\times$ n'est pas une LCI sur $\{1, 2, 3\}$ car $2\times3 \not\in \{1, 2, 3\}$
> - $(\{0, 1\}, \times)$ --> $\times$ est une LCI sur $\{0,1\}$ car $\forall (x,y)\in\{0,1\}^2,\; x\times y \in \{0,1\}$

# Voir
 - [[stabilité sur un ensemble]]
 - [[table de cayley]]

# Propriétés

## [[associativité]]
$\forall(a,b,c)\in E^3, a*(b*c)=(a*b)*c$

## [[élément neutre]]
$\exists e\in E, \forall a\in E, a*e=e*a=a$

## [[éléments inversibles]]
$a\in E$ est symétrisable ssi: $\exists a'\in E, a*a' = a'*a = e$

## [[commutativité]]
$\forall(a,b)\in E^2, a*b = b*a$

## [[distributivité]]



# Définitions

> [!definition] Itération d'un élément
> Soit $E$ un ensemble muni d'une LCI $*$ [[associativité|associative]], et soit $a\in E$.
> On définit _l'itéré $n$-ème_ de $a$, pour $n\in\mathbb N^*$, noté $a^{*n}$ par :
>  - $a^{*1} = a$
>  - $a^{*2} = a*a$
>  - $a^{(*n)} = a^{*(n-1)}*a$
>  Si $E$ possède un [[élément neutre]] $e$, on écrit $a^{*0} = e$.
>  Si de plus, $a$ est [[éléments inversibles|symétrisable]], on note $a^{*(-1)} = a^{-1},\, a^{*(-2)} = (a^{-1})^{*2},\, \ldots,\, a^{*(-n)} = (a^{-1})^{*n}$
> > [!example] Exemple
> > Soit $E$ un ensemble non vide.
> > On définit une loi de composition interne $\Delta$ sur $\mathscr P(E)$ :
> > Soit $(A, B)\in(\mathscr P(E))^2, A\Delta B = \complement_{A\cup B}(A\cap B)$ 
> > On appelle cette loi "Différence symétrique"