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alias: [ "centre de gravité d'un triangle" ]
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up:: [[triangle]]
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sibling:: [[médianes d'un triangle]]
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title:: "intersection des [[médianes d'un triangle|médianes]]"
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#maths/géométrie
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> [!definition] isobarycentre d'un triangle
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> Soit $ABC$ un triangle
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> Le **centre de gravité** de $ABC$ est l'[[isobarycentre]] de $(A, B, C)$, soit le point $G$ tel que :
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> $\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{BG} + \overrightarrow{CG} = \vec{0}$
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^definition
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# Propriétés
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Soit $ABC$ un triangle
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Soient $a$, $b$ et $c$ les longueur opposées à $A$, $B$ et $C$
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Soient $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ les angles en $A$, $B$, $C$
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- $\displaystyle AG^{2} = \frac{2(b^{2}+c^{2}) - a^{2}}{9}$ (distance d'un point au centre de gravité)
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- cela vient de la formule $\displaystyle AG^{2} = \frac{1}{9} \left( b^{2} + c^{2} + 2bc \cos(\alpha) \right)$
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- $b^{2}+c^{2}+2bc\cos(\alpha) = \| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \|^{2}$
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- c'est un carré [[produit scalaire|scalaire]]
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- $\dfrac{1}{9}$ car $\displaystyle\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$
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