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centre de gravité d'un triangle

up:: triangle sibling:: médianes d'un triangle title:: "intersection des médianes d'un triangle" #maths/géométrie

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[!definition] isobarycentre d'un triangle Soit ABC un triangle Le centre de gravité de ABC est l'isobarycentre de (A, B, C), soit le point G tel que : \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{BG} + \overrightarrow{CG} = \vec{0} ^definition

Propriétés

Soit ABC un triangle Soient a, b et c les longueur opposées à A, B et C Soient \alpha, \beta, \gamma les angles en A, B, C

• \displaystyle AG^{2} = \frac{2(b^{2}+c^{2}) - a^{2}}{9} (distance d'un point au centre de gravité)
  • cela vient de la formule \displaystyle AG^{2} = \frac{1}{9} \left( b^{2} + c^{2} + 2bc \cos(\alpha) \right)
    • b^{2}+c^{2}+2bc\cos(\alpha) = \| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \|^{2}
      • c'est un carré produit scalaire
      • \dfrac{1}{9} car \displaystyle\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})