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quickshare-date: 2023-04-05 13:47:36
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up::[[intégration]]
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#maths/analyse
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$\displaystyle \int u' \times v \, dx = u\times v - \int u \times v' \, dx$
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Formule de l'intégration par parties :
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$\displaystyle \int u'(x)\times v(x) \, dx = u(x)\times v(x) - \int u(x)v'(x) \, dx$
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Ou, avec bornes :
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$\displaystyle \int _{\alpha}^{\beta} u'(x)\times v(x) \, dx = \left[ u(x)\times v(x) \right]_{\alpha}^{\beta} - \int _{\alpha}^{\beta} u(x)\times v'(x) \, dx$
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# Démonstration
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On part de la formule pour la dérivée d'un produit :
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$(u \times v) ' = u' \cdot v - u\cdot v'$
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Si on intègre les deux côtés :
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$\displaystyle u \times v = \int u'\cdot v \, dx + \int u\cdot v' \, dx \quad \iff \quad u \times v - \int u \cdot v' \, dx = \int u'\cdot v \, dx$
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On obtient bien la formule de l'intégration par parties :
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$\boxed{\int u' \times v \, dx = u\times v - \int u \times v' \, dx}$
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