cours/intégration par parties.md

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2023-04-05 13:47:36	https://noteshare.space/note/clg3mk7h9706501pjm41my9in#4ZjKaXyJjespwdodKgrSvFMCQpB/+5JvxI6eoIZFwRM

up::intégration #maths/analyse

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\displaystyle \int u' \times v \, dx = u\times v - \int u \times v' \, dx

Formule de l'intégration par parties :

\displaystyle \int u'(x)\times v(x) \, dx = u(x)\times v(x) - \int u(x)v'(x) \, dx

Ou, avec bornes :

\displaystyle \int _{\alpha}^{\beta} u'(x)\times v(x) \, dx = \left[ u(x)\times v(x) \right]_{\alpha}^{\beta} - \int _{\alpha}^{\beta} u(x)\times v'(x) \, dx

Démonstration

On part de la formule pour la dérivée d'un produit :

(u \times v) ' = u' \cdot v - u\cdot v'

Si on intègre les deux côtés :

\displaystyle u \times v = \int u'\cdot v \, dx + \int u\cdot v' \, dx \quad \iff \quad u \times v - \int u \cdot v' \, dx = \int u'\cdot v \, dx

On obtient bien la formule de l'intégration par parties :

\boxed{\int u' \times v \, dx = u\times v - \int u \times v' \, dx}