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alias: [ "démonstration" ]
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up:: [[norme]]
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sibling:: [[inégalité de Minkowski]]
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title:: "$d(a, c) \leq d(a, b) + d(b, c)$", "$\|a+b\| \leq \|a\| + \|b\|$"
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#maths/algèbre
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> [!definition] inégalité triangulaire
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> Soit $(E, \langle \cdot,\cdot\rangle)$ un [[espace préhilbertien]] de norme $\|\cdot\|$
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> Soit $d(x, y)$ la [[distance]] associée à cette norme
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> On a l'inégalité suivante :
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> $\boxed{\forall (a, b, c) \in E^{3}, \quad d(a, c) \leq d(a, b)+d(b, c)}$
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> Ou bien, de façon vectorielle ([[inégalité de Minkowski]]) :
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> $\|a+b\| \leq \|a\| + \|b\|$
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> - [i] on peut passer de l'une à l'autre avec un changement de variable $b-a\to a$ et $c - b \to a$
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^definition
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# Démonstration
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## $\|a+b\| \leq \|a\| + \|b\|$
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On commence par montrer l'inégalité sur les carrés :
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$\|a+b\|^{2} \leq (\|a\| + \|b\|)^{2}$
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$$\begin{align}
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\|a+b\|^{2} &= \|a\|^{2} + \|b\|^{2} + 2\langle a, b \rangle \\
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&\leq \|a\|^{2} + \|b\|^{2} + 2\cdot\|a\|\cdot\|b\| && \text{par l'inégalité de Cauchy-Schwarz} \\
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&\leq \left( \|a\| + \|b\| \right) ^{2} && \text{identité remarquable}
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\end{align}$$
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On peut en déduire que :
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$\|a+b\| \leq \|a\|+\|b\|$
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## $d(a, c) \leq d(a, b) + d(b, c)$
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Par définition, $d(x, y) = \|y -x\|$
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Donc :
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$$ \begin{align}
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d(a, c) \leq d(a, b) + d(b, c) &\iff \|c - a\| \leq \|b - a\| + \|c - b\| \\
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&\iff \|(c - b) + (b - a) \| \leq \|b - a\| + \|c - b\| \\
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&\iff \|A+B\| \leq \|A\| + \|B\| && \text{changement de variables :} \begin{cases} A = b -a\\ B = c - b \end{cases}
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\end{align} $$
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On a déjà démontré que $\|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|$ est toujours vraie, donc l'inégalité triangulaire est vraie.
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