cours/inégalité triangulaire.md

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démonstration

up:: norme sibling:: inégalité de Minkowski title:: "$d(a, c) \leq d(a, b) + d(b, c)$", "$|a+b| \leq |a| + |b|$" #maths/algèbre

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[!definition] inégalité triangulaire Soit (E, \langle \cdot,\cdot\rangle) un espace préhilbertien de norme \|\cdot\| Soit d(x, y) la distance associée à cette norme On a l'inégalité suivante : \boxed{\forall (a, b, c) \in E^{3}, \quad d(a, c) \leq d(a, b)+d(b, c)} Ou bien, de façon vectorielle (inégalité de Minkowski) : \|a+b\| \leq \|a\| + \|b\|

• [i] on peut passer de l'une à l'autre avec un changement de variable b-a\to a et c - b \to a ^definition

Démonstration

\|a+b\| \leq \|a\| + \|b\|

On commence par montrer l'inégalité sur les carrés : \|a+b\|^{2} \leq (\|a\| + \|b\|)^{2}

$$\begin{align} |a+b|^{2} &= |a|^{2} + |b|^{2} + 2\langle a, b \rangle \ &\leq |a|^{2} + |b|^{2} + 2\cdot|a|\cdot|b| && \text{par l'inégalité de Cauchy-Schwarz} \ &\leq \left( |a| + |b| \right) ^{2} && \text{identité remarquable} \end{align}$$ On peut en déduire que : \|a+b\| \leq \|a\|+\|b\|

d(a, c) \leq d(a, b) + d(b, c)

Par définition, d(x, y) = \|y -x\| Donc : $$ \begin{align} d(a, c) \leq d(a, b) + d(b, c) &\iff |c - a| \leq |b - a| + |c - b| \ &\iff |(c - b) + (b - a) | \leq |b - a| + |c - b| \ &\iff |A+B| \leq |A| + |B| && \text{changement de variables :} \begin{cases} A = b -a\ B = c - b \end{cases} \end{align} $$ On a déjà démontré que \|A+B\|\leq \|A\|+\|B\| est toujours vraie, donc l'inégalité triangulaire est vraie.