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aliases:
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- hyperboule
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up:: [[géométrie]]
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#maths/géométrie
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> [!definition] hypersphère
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> Une hypersphère est la généralisation en dimension $n$ d'une sphère.
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> C'est donc la surface dans $\mathbb{R}^{n}$ d'équation $x_1^{2}+x_2^{2}+x_3^{2}+\cdots+x_{n}^{2} =r^{2}$
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> Où $r$ est le rayon de la sphère.
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> Une hypersphère peut également être définie comme la frontière d'une hyperboule
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^definition
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> [!definition] hyperboule
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> Une hyperboule est la généralisation en dimension $n$ d'une sphère.
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> C'est donc l'hypersurface dans $\mathbb{R}^{n}$ de dimension $\mathbb{R}^{n-1}$ et d'équation $x_1^{2}+x_2^{2}+x_3^{2}+\cdots+x_{n}^{2}\leq r^{2}$
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> Où $r$ est le rayon de l'hyperboule.
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> La frontière d'une hyperboule est une hypersphère.
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^definition
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# Propriétés
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## Volume d'une sphère en hautes dimensions
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Dans l'espace $\mathbb{R}^{n}$
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On considère une hyperboule $B$ de rayon $r$.
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On considère un hypercube $C$, circonscrit à cette hyperboule, et donc de côté $2r$.
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Plus la dimension est grande, plus le rapport $\dfrac{\text{Volume de } B}{\text{Volume de } C}$ est petit.
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En fait, plus la dimension est grande, plus une petite augmentation de $r$ à une grande influence sur le volume de l'hypersphère.
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- en haute dimension, la plupart du volume est contenu dans la pelure de l'orange, et le volume de la puple devient négligeable
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### Intuition
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Puisqu'une hyperboule est définie par $x_1^{2}+x_2^{2}+x_3^{2}+\cdots+x_{n}^{2} \leq r^{2}$
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On considère la probabilité $P(S)$ que, pour $(x_1,x_2,\dots,x_{n})$ choisi au hasard dans $\displaystyle [-r; r]^{n}$, on aie effectivement $x_1^{2}+x_2^{2}+x_3^{2}+\cdots+x_{n}^{2} \leq r^{2}$.
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On sait alors que $P(S)$ est aussi la probabilité qu'un point au hasard dans l'hypercube $C$ soit aussi dans l'hyperboule $B$.
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On comprends alors aussi aisément que, plus la dimension $n$ est grande, plus cette probabilité est faible, puisque la membre de droite de l'inéquation ne dépend pas de $n$ alors que le membre de gauche contient $n$ termes. Plus $n$ est grand, plus on ajoute de nombres dans $\displaystyle [0; r]$ à la somme. On comprends que, plus $n$ est grand, plus $P(S)$ est faible, puisqu'il est plus aisé à la somme de dépasser $r^{2}$.
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Il est alors logique que, plus $n$ est grand, plus le volume de l'hyperboule $B$ soit petit par rapport à celui de l'hypercube $C$.
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