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hyperboule

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[!definition] hypersphère Une hypersphère est la généralisation en dimension n d'une sphère. C'est donc la surface dans \mathbb{R}^{n} d'équation x_1^{2}+x_2^{2}+x_3^{2}+\cdots+x_{n}^{2} =r^{2} Où r est le rayon de la sphère.

Une hypersphère peut également être définie comme la frontière d'une hyperboule ^definition

[!definition] hyperboule Une hyperboule est la généralisation en dimension n d'une sphère. C'est donc l'hypersurface dans \mathbb{R}^{n} de dimension \mathbb{R}^{n-1} et d'équation x_1^{2}+x_2^{2}+x_3^{2}+\cdots+x_{n}^{2}\leq r^{2} Où r est le rayon de l'hyperboule. La frontière d'une hyperboule est une hypersphère. ^definition

Propriétés

Volume d'une sphère en hautes dimensions

Dans l'espace \mathbb{R}^{n} On considère une hyperboule B de rayon r. On considère un hypercube C, circonscrit à cette hyperboule, et donc de côté 2r.

Plus la dimension est grande, plus le rapport \dfrac{\text{Volume de } B}{\text{Volume de } C} est petit. En fait, plus la dimension est grande, plus une petite augmentation de r à une grande influence sur le volume de l'hypersphère.

• en haute dimension, la plupart du volume est contenu dans la pelure de l'orange, et le volume de la puple devient négligeable

Intuition

Puisqu'une hyperboule est définie par x_1^{2}+x_2^{2}+x_3^{2}+\cdots+x_{n}^{2} \leq r^{2} On considère la probabilité P(S) que, pour (x_1,x_2,\dots,x_{n}) choisi au hasard dans \displaystyle [-r; r]^{n}, on aie effectivement x_1^{2}+x_2^{2}+x_3^{2}+\cdots+x_{n}^{2} \leq r^{2}. On sait alors que P(S) est aussi la probabilité qu'un point au hasard dans l'hypercube C soit aussi dans l'hyperboule B. On comprends alors aussi aisément que, plus la dimension n est grande, plus cette probabilité est faible, puisque la membre de droite de l'inéquation ne dépend pas de n alors que le membre de gauche contient n termes. Plus n est grand, plus on ajoute de nombres dans \displaystyle [0; r] à la somme. On comprends que, plus n est grand, plus P(S) est faible, puisqu'il est plus aisé à la somme de dépasser r^{2}. Il est alors logique que, plus n est grand, plus le volume de l'hyperboule B soit petit par rapport à celui de l'hypercube C.