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up::ensemble des matrices title::"$\mathrm{GL}{n}(E)={ m\in\mathcal{M}{n}(E) \mid \det(m) \neq 0 \wedge m^{-1} \in \mathcal{M}_{n}(E)}$" #maths/algèbre

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Le groupe linéaire des matrice inverse d'une matrice#Matrice inversible de dimension n\times n à coefficients dans l'ensemble E et dont les inverses sont aussi à coefficients dans $E$ se note \text{GL}_n(E)

[!définition] Soit E un ensemble Soit \mathcal{M_{n}}(E) l'ensemble des matrices à valeurs dans E, carrées de taille n \boxed{\mathrm{GL}_{n}(E) = \{ m\in\mathcal{M}_{n}(E)\mid \det(m)\neq 0 \wedge m^{-1}\in\mathcal{M}_{n}(E) \}}

⚠️ : on à pas le droit d'écrire \text{GL}_n(E) si (\mathcal{M}_n(E), \cdot) ne forme pas un groupe (\mathcal{M}_n(E) muni de la multiplication de matrices)

Propriétés

• \text{GL}_n(E) contient la matrice identité de dimension n

Exemples

• \text{GL}_n(\C)
• \text{GL}_n(\mathbb{R})
• \text{GL}_n(\Z)