up::[[ensemble des matrices]]
title::"$\mathrm{GL}_{n}(E)=\{ m\in\mathcal{M}_{n}(E) \mid \det(m) \neq 0 \wedge m^{-1} \in \mathcal{M}_{n}(E)\}$"
#maths/algèbre

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Le [[groupe]] linéaire des [[matrice|matrices]] [[inverse d'une matrice#Matrice inversible|inversibles]] de dimension $n\times n$ à coefficients dans l'ensemble $E$ et dont **les inverses sont aussi à coefficients dans $E$** se note $\text{GL}_n(E)$

> [!définition]
> Soit $E$ un ensemble
> Soit $\mathcal{M_{n}}(E)$ l'[[ensemble des matrices]] à valeurs dans $E$, carrées de taille $n$
> $\boxed{\mathrm{GL}_{n}(E) = \{ m\in\mathcal{M}_{n}(E)\mid \det(m)\neq 0 \wedge m^{-1}\in\mathcal{M}_{n}(E) \}}$


⚠️ : on à pas le droit d'écrire $\text{GL}_n(E)$ si $(\mathcal{M}_n(E), \cdot)$ ne forme pas un [[groupe]] ($\mathcal{M}_n(E)$ muni de la [[multiplication de matrices]])

# Propriétés
 - $\text{GL}_n(E)$ contient la [[matrice identité]] de dimension $n$

# Exemples
 - $\text{GL}_n(\C)$
 - $\text{GL}_n(\mathbb{R})$
 - $\text{GL}_n(\Z)$