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définie

up:: forme quadratique title:: "$\varphi(x) = 0 \iff x = \vec 0$" #maths/algèbre

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[!definition] forme quadratique définie Soit E un $\mathbf{K}$-espace vectoriel Soit \varphi une forme quadratique sur E \to \mathbf{K} \varphi est une forme quadratique définie ssi : \forall x \in E, \quad \varphi(x)=0 \iff x=\vec 0 ^definition

Propriétés

• Une forme quadratique définie est toujours forme quadratique positive ou forme quadratique négative

• Une forme quadratique définie est une forme quadratique non dégénérée, forme quadratique positive ou forme quadratique négative

• Les formes quadratiques définies sont les formes quadratiques dont le polynôme associé possède une seule racine, \vec 0.

  • Si on est sur \mathbb{R}, sa multiplicité est nécessairement de 2 (par le théorème de d'Alembert)