---
alias: [ "définie" ]
---
up:: [[forme quadratique]] 
title:: "$\varphi(x) = 0 \iff x = \vec 0$"
#maths/algèbre 

---

> [!definition] forme quadratique définie
> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
> Soit $\varphi$ une [[forme quadratique]] sur $E \to \mathbf{K}$
> $\varphi$ est une forme quadratique **définie** ssi :
> $\forall x \in E, \quad \varphi(x)=0 \iff x=\vec 0$
^definition

# Propriétés

 - Une forme quadratique **définie** est toujours [[forme quadratique positive|positive]] ou [[forme quadratique négative|négative]]
 - Une forme quadratique **définie** est une [[forme quadratique non dégénérée]], [[forme quadratique positive|positive]] ou [[forme quadratique négative|négative]]

 - Les formes quadratiques définies sont les formes quadratiques dont le polynôme associé possède une seule racine, $\vec 0$.
     - Si on est sur $\mathbb{R}$, sa multiplicité est nécessairement de $2$ (par le [[théorème de d'Alembert]])