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up::forme linéaire title:: \varphi(x) = 0 \iff \vec{x} = \vec{0} #maths/algèbre

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[!definition] forme linéaire définie Soit E un $\mathbf{K}$-espace vectoriel Soit \varphi une forme linéaire de E \to \mathbf{K} On dit que \varphi est une forme linéaire définie ssi \boxed{\forall x \in E, \quad \varphi(x) = 0 \iff \vec{x} = \vec{0}}

Une autre définition est \ker \varphi = \{ \vec 0 \}. Par le théorème du rang, on sait que c'est possible seulement si \boxed{\dim E = 1} Toutes les formes sur un espace de dimension d'un espace vectoriel 1 sont définies (car elles sont linéaire), sauf la forme linéaire nulle. Donc, les formes linéaire définies sont les formes linéaires de la forme \begin{align} \varphi : & \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\ & x \mapsto ax \quad \text{avec }a \in \mathbb{R}^{*}\end{align} ^definition