up::[[forme linéaire]]
title:: $\varphi(x) = 0 \iff \vec{x} = \vec{0}$
#maths/algèbre 

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> [!definition] forme linéaire définie
> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
> Soit $\varphi$ une [[forme linéaire]] de $E \to \mathbf{K}$
> On dit que $\varphi$ est une forme linéaire **définie** ssi $\boxed{\forall x \in E, \quad \varphi(x) = 0 \iff \vec{x} = \vec{0}}$
> 
> Une autre définition est $\ker \varphi = \{ \vec 0 \}$. Par le [[théorème du rang]], on sait que c'est possible seulement si $\boxed{\dim E = 1}$
> Toutes les formes sur un espace de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] $1$ sont définies (car elles sont linéaire), sauf la forme linéaire nulle.
> Donc, les formes linéaire définies sont les formes linéaires de la forme $\begin{align} \varphi : & \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\ & x \mapsto ax \quad \text{avec }a \in \mathbb{R}^{*}\end{align}$
^definition