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up:: fonction, espace mesurable #maths/algèbre

[!definition] fonction mesurable Soient \mathcal{A} une tribu sur E et \mathcal{B} une tribu sur F Soit f : \underbrace{(E, \mathcal{A})}_{\substack{\text{espace}\\\text{mesurable}}} \to \underbrace{(F, \mathcal{B})}_{\substack{\text{espace}\\\text{mesurable}}} f est mesurable de (E, \mathcal{A}) dans (F, \mathcal{B}) ssi : \forall B \in \mathcal{B}, f^{-1}(B) \in \mathcal{A} ^definition

[!proposition] f : (E, \mathcal{A}) \to (F, \mathcal{B}) avec \mathcal{B} = \sigma(\mathcal{E}) et \mathcal{E} \subset \mathscr{P}(F) f est mesurable \iff \forall B \in \mathcal{E}, \quad f^{-1}(B) \in \mathcal{A}

[!démonstration]- Démonstration

• \implies évident, car \mathcal{E} \subset \mathcal{B}
• \impliedby \mathcal{A} contient f^{-1}(E), donc \mathcal{A} contient \sigma(f^{-1}(\mathcal{E})) = f^{-1}(\sigma(\mathcal{E})) = f^{-1}(\mathcal{B})

[!corollaire] \,

[!proposition] Soient (E, \mathcal{A}), (F, \mathcal{B}) et (G, \mathcal{C}) 3 espace mesurable Soient f: E \to F et g: F \to G deux fonctions mesurables Alors g \circ f est mesurable de (E, \mathcal{A}) dans (G, \mathcal{C})

[!démonstration]- Démonstration Soit C \in \mathcal{C} (g \circ f)^{-1}(C) = f^{-1}(\underbrace{g^{-1}(C)}_{\in \mathcal{B}}) \in \mathcal{A}

[!proposition] Soient (F_1, \mathcal{B}_{1}) et (F_2, \mathcal{B}_{2}) deux espaces mesurables Soit \begin{align} p_{i}: F_1\times F_2 \to F_{i} \\& (x_1, x_2) \mapsto x_{i} \end{align} la projection sur F_{i} On munit F_1 \times F_2 de la tribu produit \mathcal{B}_{1} \otimes \mathcal{B}_{2}

1. p_{i} est mesurable de (F_1\times F_2, \mathcal{B}_{1}\otimes \mathcal{B}_{2}) dans (F_{i}, \mathcal{B}_{i})
2. Soit f : (E, \mathcal{A}) \to (F_1 \times F_2, \mathcal{B}_{1} \otimes \mathcal{B}_{2}), alors f est mesurable ssi p_{1}\circ f est mesurable et p_2 \circ f est mesurable

Exemples

[!example] Exemple Quel que soit A \subset E \begin{align} \mathbb{1}_{A}: & (E, \mathcal{A}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})) \\& x \mapsto \begin{cases} 1 \text{ si } x \in A\\ 0 \text{ si } x \notin A \end{cases} \end{align} (voir tribu borélienne, fonction indicatrice) Alors, soit B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \mathbb{1}_{A}^{-1}(B) = \begin{cases} \emptyset & \text{ si } 0 \notin B \wedge 1 \notin B\\ E & \text{ si } 0 \in B \wedge 1 \in B\\ A & \text{ si } 0 \notin B \wedge 1 \in B\\ \complement_{E}A &\text{ si } 0 \in B \wedge 1 \notin B \end{cases} Donc, \mathbb{1}_{A} est mesurable dans E, \mathcal{A} \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})) si et seulement si \emptyset, E, A, \complement_{E}A sont dans \mathcal{A}. Il est évident que \emptyset \in \mathcal{A} et que E \in \mathcal{A}, car \mathcal{A} est une tribu sur E Pour que \complement_{E}A \in \mathcal{A}, il faut et suffit que A \in \mathcal{A} (car les tribu sont stables par complément) Donc, \mathbb{1}_{A} est mesurable dans (E, \mathcal{A}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}) ssi A \in \mathcal{A}