up:: [[fonction]], [[espace mesurable]]
#maths/algèbre 

> [!definition] [[fonction mesurable]]
> Soient $\mathcal{A}$ une tribu sur $E$ et $\mathcal{B}$ une tribu sur $F$
> Soit $f : \underbrace{(E, \mathcal{A})}_{\substack{\text{espace}\\\text{mesurable}}} \to \underbrace{(F, \mathcal{B})}_{\substack{\text{espace}\\\text{mesurable}}}$ 
> $f$ est **mesurable** de $(E, \mathcal{A})$ dans $(F, \mathcal{B})$ ssi :
> $\forall B \in \mathcal{B}, f^{-1}(B) \in \mathcal{A}$
^definition

> [!proposition]
> $f : (E, \mathcal{A}) \to (F, \mathcal{B})$ avec $\mathcal{B} = \sigma(\mathcal{E})$ et $\mathcal{E} \subset \mathscr{P}(F)$
> $f$ est mesurable $\iff \forall B \in \mathcal{E}, \quad f^{-1}(B) \in \mathcal{A}$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - $\implies$ évident, car $\mathcal{E} \subset \mathcal{B}$
> > - $\impliedby$ $\mathcal{A}$ contient $f^{-1}(E)$, donc $\mathcal{A}$ contient $\sigma(f^{-1}(\mathcal{E})) = f^{-1}(\sigma(\mathcal{E})) = f^{-1}(\mathcal{B})$
> 
> > [!corollaire]
> > $\,$

> [!proposition] 
> Soient $(E, \mathcal{A})$, $(F, \mathcal{B})$ et $(G, \mathcal{C})$ 3 [[espace mesurable|espaces mesurables]]
> Soient $f: E \to F$ et $g: F \to G$ deux fonctions mesurables
> Alors $g \circ f$ est mesurable de $(E, \mathcal{A})$ dans $(G, \mathcal{C})$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $C \in \mathcal{C}$
> > $(g \circ f)^{-1}(C) = f^{-1}(\underbrace{g^{-1}(C)}_{\in \mathcal{B}}) \in \mathcal{A}$

> [!proposition]
> Soient $(F_1, \mathcal{B}_{1})$ et $(F_2, \mathcal{B}_{2})$ deux espaces mesurables
> Soit $\begin{align} p_{i}: F_1\times F_2 \to F_{i} \\& (x_1, x_2) \mapsto x_{i} \end{align}$ la projection sur $F_{i}$
> On munit $F_1 \times F_2$ de la tribu produit $\mathcal{B}_{1} \otimes \mathcal{B}_{2}$
> 1. $p_{i}$ est mesurable de $(F_1\times F_2, \mathcal{B}_{1}\otimes \mathcal{B}_{2})$ dans $(F_{i}, \mathcal{B}_{i})$
> 2. Soit $f : (E, \mathcal{A}) \to (F_1 \times F_2, \mathcal{B}_{1} \otimes \mathcal{B}_{2})$, alors $f$ est mesurable ssi $p_{1}\circ f$ est mesurable et $p_2 \circ f$ est mesurable

 

# Exemples

> [!example] Exemple
> Quel que soit $A \subset E$
> $\begin{align} \mathbb{1}_{A}: & (E, \mathcal{A}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})) \\& x \mapsto \begin{cases} 1 \text{ si } x \in A\\ 0 \text{ si } x \notin A \end{cases} \end{align}$ (voir [[tribu borélienne]], [[fonction indicatrice]])
> Alors, soit $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$
> $\mathbb{1}_{A}^{-1}(B) = \begin{cases} \emptyset & \text{ si } 0 \notin B \wedge 1 \notin B\\ E & \text{ si } 0 \in B \wedge 1 \in B\\ A & \text{ si } 0 \notin B \wedge 1 \in B\\ \complement_{E}A &\text{ si } 0 \in B \wedge 1 \notin B \end{cases}$
> Donc, $\mathbb{1}_{A}$ est mesurable dans $E, \mathcal{A} \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ si et seulement si $\emptyset, E, A, \complement_{E}A$ sont dans $\mathcal{A}$.
> Il est évident que $\emptyset \in \mathcal{A}$ et que $E \in \mathcal{A}$, car $\mathcal{A}$ est une tribu sur $E$
> Pour que $\complement_{E}A \in \mathcal{A}$, il faut et suffit que $A \in \mathcal{A}$ (car les [[tribu|tribus]] sont stables par complément) 
> Donc, $\mathbb{1}_{A}$ est mesurable dans $(E, \mathcal{A}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})$ ssi $A \in \mathcal{A}$