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alias: ["ch", "cosinus hyperbolique"]
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sr-due: 2022-09-10
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sr-interval: 22
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sr-ease: 302
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up::[[trigonométrie]], [[fonctions]]
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sibling::[[fonction sinus hyperbolique|sh]]
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derivative::[[fonction sinus hyperbolique|-sh]]
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primitive::
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properties::[[fonction paire|paire]]
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description::"$\mathbb{R} \to [1; +\infty[$", "$\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}$"
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title::$\mathrm{ch}$
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#maths/analyse #maths/trigonométrie
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Notée $\cosh$ ou $\text{ch}$.
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$\mathrm{ch}(x) = \dfrac{e^x+e^{-x}}2$
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Elle est appelée _cosinus_ car sa définition ressemble à celle de la [[fonction cosinus]]
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# Graphe
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```desmos-graph
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top=3
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left=-2; right=2
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bottom=-1
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width=350; height=350
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y = \cosh(x)
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(0, 1) | black
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```
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# Propriétés
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$\cosh^2 x - \sinh^2 x = \dfrac{e^{2x}+2+e^{-2x}}4 - \dfrac{e^{2x}-2+e^{-2x}}4 = 1$
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(Voir [[fonction sinus hyperbolique]])
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- $\mathrm{ch}$ est une [[fonction paire]]
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- dérivée : $\mathrm{ch}' = \mathrm{sh}$ la [[fonction sinus hyperbolique]] (existe sur $\mathbb{R}$)
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- **sans** changement de signe comme $\cos' = -\sin$
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- [[tangente à une courbe|tangente]] horizontale en $0$
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- [[asymptote]] à $\mathrm{sh}$ en $+\infty$ et à $-\mathrm{sh}$ en $-\infty$
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- $\mathrm{ch} \underset{+\infty}{\sim} \mathrm{sh}$ ([[fonctions équivalentes|équivalentes]]) et $\mathrm{ch} \underset{-\infty}{\sim} -\mathrm{sh}$
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### Note :
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$\cos(x) = \mathrm{ch}(ix)$ soit $\mathrm{ch}(x) = \cos\left(\frac{x}{i}\right) = \cos(-ix)$
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⚠️ $\cos$ ne peut pas être défini sur $\mathbb{C}$ car il perd ses propriétés
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