cours/fonction cosinus hyperbolique.md

alias, sr-due, sr-interval, sr-ease

alias	sr-due	sr-interval	sr-ease
ch cosinus hyperbolique	2022-09-10	22	302

up::trigonométrie, fonctions sibling::fonction sinus hyperbolique derivative::fonction sinus hyperbolique primitive:: properties::fonction paire description::"$\mathbb{R} \to [1; +\infty[$", "$\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}$" title::$\mathrm{ch}$ #maths/analyse #maths/trigonométrie

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Notée \cosh ou \text{ch}. \mathrm{ch}(x) = \dfrac{e^x+e^{-x}}2

Elle est appelée cosinus car sa définition ressemble à celle de la fonction cosinus

Graphe

    top=3
left=-2; right=2
    bottom=-1
width=350; height=350
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y = \cosh(x)
(0, 1) | black

Propriétés

\cosh^2 x - \sinh^2 x = \dfrac{e^{2x}+2+e^{-2x}}4 - \dfrac{e^{2x}-2+e^{-2x}}4 = 1 (Voir fonction sinus hyperbolique)

• \mathrm{ch} est une fonction paire
• dérivée : \mathrm{ch}' = \mathrm{sh} la fonction sinus hyperbolique (existe sur \mathbb{R})
  • sans changement de signe comme \cos' = -\sin
  • tangente à une courbe horizontale en 0
• asymptote à \mathrm{sh} en +\infty et à -\mathrm{sh} en -\infty
• \mathrm{ch} \underset{+\infty}{\sim} \mathrm{sh} (fonctions équivalentes) et \mathrm{ch} \underset{-\infty}{\sim} -\mathrm{sh}

Note :

\cos(x) = \mathrm{ch}(ix) soit \mathrm{ch}(x) = \cos\left(\frac{x}{i}\right) = \cos(-ix) ⚠️ \cos ne peut pas être défini sur \mathbb{C} car il perd ses propriétés