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[!definition] valuation $p$-adique On définit la valuation $p$-adique d'un entier n \in \mathbb{Z} comme étant le nombre maximal de fois que n est divisible par p. \nu_{p}(n) = \max \{ h \in \mathbb{N} : p^{k} \mid n \}

[!example] Exemples

• \nu_{10}(0) = +\infty
• \nu _{10}(123749) = 0
• \nu _{10}(592000)=3

[!definition] norme et distance $p$-adique On définit la norme $p$-adique par : \displaystyle |n|_{p} = n^{-\nu _{p}(n)} Alors, la distance $p$-adique est définie par : d_{p}(n, m) = |n - m|_{p}

[!démonstration] d_{p} est une distance sur \mathbb{Z}

• si n \in \mathbb{Z}, alors d_{p}(n, n) = 0 en effet, d(n, n) = |n - n|_{p} = |0|_{p} = 0^{-\nu _{p}(0)} = 0^{-\infty} = 0
• soient (m, n) \in \mathbb{Z}^{2}, si m \neq n, alors m - n \neq 0, donc \nu _{p}(m-n) < \infty et d_{m, n} = p^{\nu _{p}(m-n)} > 0
• symétrie : soient m, n \in \mathbb{Z} avec m \neq n \nu _{p}(m - n) = \max \{ k : p^{k}|(m - n) \} Or, p^{k} | (m-n) \iff p^{k}|(n-m) donc \nu _{p}(m -n) = \nu _{p}(n-m) et : d_{p}(m, n) = p^{-\nu(m, n)} = p^{-\nu(n, m)} = d_{p}(n, m) si m = n, la symétrie est évidente Donc d_{p} est bien symétrique
• inégalité triangulaire : \forall l, m, n \in \mathbb{Z} on veut montrer que d(l, n) \leq d(l, m) + d(m, n) L'inégalité est évidente si l = n, l=m ou m=n. On peut donc supposer l, m et n deux-à-deux distincts. si k \leq \min\{ \nu _{p} (l-m), \nu _{p}(m - n) \} alors on a : p^{k} | (l-m) \wedge p^{k}|(m-n) donc p^k| ((l-m)+(m-n)) et p^{k}|(l-n) donc k \leq \nu _{p}(l-n) Si on choisit k = \min\{ \nu _{p} (l-m), \nu _{p}(m - n) \} on a \nu _{p}(l-n) \geq k= \min\{ \nu _{p} (l-n), \nu _{p}(m-n) \} Comme x \mapsto p^{-x} est décroissante, on sait que : p^{-\nu _{p}(l-n) } \leq k soit {} d_{p}(l, n) \leq {}