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#maths/algèbre 

> [!definition] valuation $p$-adique
> On définit la valuation $p$-adique d'un entier $n \in \mathbb{Z}$ comme étant le nombre maximal de fois que $n$ est divisible par $p$.
> $\nu_{p}(n) = \max \{  h \in \mathbb{N} : p^{k} \mid n \}$
> > [!example] Exemples
> > - $\nu_{10}(0) = +\infty$
> > - $\nu _{10}(123749) = 0$
> > - $\nu _{10}(592000)=3$

> [!definition] norme et distance $p$-adique
> On définit la norme $p$-adique par :
> $\displaystyle |n|_{p} = n^{-\nu _{p}(n)}$ 
> Alors, la distance $p$-adique est définie par :
> $d_{p}(n, m) = |n - m|_{p}$

> [!démonstration] $d_{p}$ est une distance sur $\mathbb{Z}$
> - si $n \in \mathbb{Z}$, alors $d_{p}(n, n) = 0$
> en effet, $d(n, n) = |n - n|_{p} = |0|_{p} = 0^{-\nu _{p}(0)} = 0^{-\infty} = 0$
> - soient $(m, n) \in \mathbb{Z}^{2}$, si $m \neq n$, alors $m - n \neq 0$, donc $\nu _{p}(m-n) < \infty$ et $d_{m, n} = p^{\nu _{p}(m-n)} > 0$
> - symétrie :
> soient $m, n \in \mathbb{Z}$ avec $m \neq n$
> $\nu _{p}(m - n) = \max \{ k : p^{k}|(m - n) \}$
> Or, $p^{k} | (m-n) \iff p^{k}|(n-m)$
> donc $\nu _{p}(m -n) = \nu _{p}(n-m)$
> et : $d_{p}(m, n) = p^{-\nu(m, n)} = p^{-\nu(n, m)} = d_{p}(n, m)$
> si $m = n$, la symétrie est évidente
> Donc $d_{p}$ est bien symétrique 
> - inégalité triangulaire :
> $\forall l, m, n \in \mathbb{Z}$
> on veut montrer que $d(l, n) \leq d(l, m) + d(m, n)$
> L'inégalité est évidente si $l = n$, $l=m$ ou $m=n$. On peut donc supposer $l$, $m$ et $n$ deux-à-deux distincts.
> si $k \leq \min\{ \nu _{p} (l-m), \nu _{p}(m - n) \}$
> alors on a : $p^{k} | (l-m) \wedge p^{k}|(m-n)$
> donc $p^k| ((l-m)+(m-n))$ et $p^{k}|(l-n)$
> donc $k \leq \nu _{p}(l-n)$
> Si on choisit $k = \min\{ \nu _{p} (l-m), \nu _{p}(m - n) \}$
> on a $\nu _{p}(l-n)	\geq k= \min\{ \nu _{p}	(l-n), \nu _{p}(m-n) \}$
> Comme $x \mapsto p^{-x}$  est décroissante, on sait que :
> $p^{-\nu _{p}(l-n)	} \leq k$
> soit ${} d_{p}(l, n) \leq  {}$