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up::[[géométrie]]
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title:: "$\displaystyle\frac{|ax_{A}+by_{A}+c|}{\sqrt{ a^{2}+b^{2} }}$"
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#maths/géométrie
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> [!definition] distance entre une droite et un point
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> Soit $A$ un point de coordonnées $(x_{A}; y_{A})$
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> Soit $d$ une droite d'[[équation cartésienne]] $ax + by +c = 0$
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> La distance entre $A$ et $d$ est :
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> $\boxed{\frac{|ax_{A}+by_{A}+c|}{\sqrt{ a^{2}+b^{2} }}}$
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> Ou bien, si $d$ est dirigée par le vecteur $v = \begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ :
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> $\displaystyle\frac{|ax_{A}+by_{A}+c|}{\|v\|}$
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> > [!info] Interprétation
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> > En fait, l'équation de la droite, $ax+by+c$, donne la distance avec chaque point du plan (donc il faut qu'elle soit 0 pour que le point soit sur la droite), mais **seulement si le vecteur directeur est unitaire** (soit $\sqrt{ a^{2}+b^{2} } = 1$).
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> >
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> > C'est pourquoi, dans le cas général, on divise par la norme de ce vecteur, pour normaliser le résultat
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^definition
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