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up::géométrie title:: "$\displaystyle\frac{|ax_{A}+by_{A}+c|}{\sqrt{ a^{2}+b^{2} }}$" #maths/géométrie

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[!definition] distance entre une droite et un point Soit A un point de coordonnées (x_{A}; y_{A}) Soit d une droite d'équation cartésienne ax + by +c = 0 La distance entre A et d est : \boxed{\frac{|ax_{A}+by_{A}+c|}{\sqrt{ a^{2}+b^{2} }}} Ou bien, si d est dirigée par le vecteur v = \begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix} : \displaystyle\frac{|ax_{A}+by_{A}+c|}{\|v\|}

[!info] Interprétation En fait, l'équation de la droite, ax+by+c, donne la distance avec chaque point du plan (donc il faut qu'elle soit 0 pour que le point soit sur la droite), mais seulement si le vecteur directeur est unitaire (soit \sqrt{ a^{2}+b^{2} } = 1).

C'est pourquoi, dans le cas général, on divise par la norme de ce vecteur, pour normaliser le résultat ^definition