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up:: [[distance]]
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#maths/algèbre
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> [!definition]
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> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
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> Soit $A \subset X$
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> on appelle **[[diamètre]]** de $A$ la quantité
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> $\displaystyle\mathrm{diam}(A) = \sup_{(x, y) \in A^{2}} d(x, y)$
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^definition
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> [!idea] Intuition
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> Le diamètre est la distance entre les deux points les plus éloignés de $A$, même si ces points peuvent ne pas être dans $A$.
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# Exemples
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> [!example] $\mathrm{diam}(S(0, 1))$ sur $\mathbb{R}^{2}$
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> $A = S(0, 1) = \{ x \in \mathbb{R}^{2} \mid \|x\|_{2} = 1\}$
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> alors $\mathrm{diam}(A) = 2$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Soient $x, y \in A$ quelconques
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> > $\begin{align} d(x, y) &= \|x-y\|\\&=\|x + (-1)\cdot y\|\\&\leq \|x\| +|-1|\cdot\|y\| & \text{par homogénéité et inégalité triangulaire}\\&\leq \|x\|+\|y\|\\&\leq 1 + 1 & \text{car sur } S(0, 1) \text{ on a toujours } \|x\|=1 \text{ et } \|y\|=1 \\&\leq 2\end{align}$
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> > Mais on peut trouver $x, y \in A$ tels que $d(x, y) = 2$, donc $\displaystyle\max_{x, y \in A}d(x, y) = 2$, et on a bien :
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> > $\displaystyle\sup_{x, y \in A}d(x, y) = 2$
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> > Soit $\mathrm{diam}(A) = 2$
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> >
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> [!example] $\mathrm{diam}(]0; 1])$ sur $(\mathbb{R}, |\cdot|)$
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> Soit $I = ]0; 1] \subset \mathbb{R}$
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> Soit $d(x, y) = |x - y|$
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> $\mathrm{diam}(I) = 1$
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> > [!démonstration] Démonstration
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> > Soient $x, y \in I$ quelconques
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> > $y > 0$ et $x \leq 1$ donc $x-y \leq 1 - 0 = 1$
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> > De même, $x > 0$ et $y \leq 1$ donc $-(x-y) = y - x \leq 1$
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> > On en déduit $|x - y| \leq 1$ soit $d(x, y) \leq 1$, et donc $\mathrm{diam}(I) \leq 1$
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> > Maintenant, si $x = 1$ et $y_{n} = \frac{1}{n}$ pour $n \in \mathbb{N}^{*}$
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> > $\displaystyle d(x, y_{n}) = \left| 1 - \frac{1}{n} \right| = 1 - \frac{1}{n}$
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> > On a donc : $\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad d(x, y_{n}) \leq \mathrm{diam}(I) \leq 1$
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> > Donc, $\displaystyle\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad 1 - \frac{1}{n} \leq \mathrm{diam}(I) \leq 1$
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> > Et donc, quand $n \to +\infty$ on a $1 \leq \mathrm{diam}(I) \leq 1$, soit $\mathrm{diam}(I)=1$
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> [!example] $\mathrm{diam}(\mathbb{R})$ sur $(\mathbb{R}, \|\cdot\|_{2})$
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> $\mathrm{diam}(\mathbb{R}) = +\infty$
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> > [!démonstration] Démonstration
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> > $\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad \mathrm{diam}(\mathbb{R}) \geq d(-n, n) = 2n$
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> > Donc, quand $n \to +\infty$, on a bien $\mathrm{diam}(\mathbb{R}) \geq +\infty$, soit $\mathrm{diam}(\mathbb{R}) = +\infty$
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