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up:: distance #maths/algèbre

[!definition] Soit (X, d) un espace métrique Soit A \subset X on appelle diamètre de A la quantité \displaystyle\mathrm{diam}(A) = \sup_{(x, y) \in A^{2}} d(x, y) ^definition

[!idea] Intuition Le diamètre est la distance entre les deux points les plus éloignés de A, même si ces points peuvent ne pas être dans A.

Exemples

[!example] \mathrm{diam}(S(0, 1)) sur \mathbb{R}^{2} A = S(0, 1) = \{ x \in \mathbb{R}^{2} \mid \|x\|_{2} = 1\} alors \mathrm{diam}(A) = 2

[!démonstration]- Démonstration Soient x, y \in A quelconques \begin{align} d(x, y) &= \|x-y\|\\&=\|x + (-1)\cdot y\|\\&\leq \|x\| +|-1|\cdot\|y\| & \text{par homogénéité et inégalité triangulaire}\\&\leq \|x\|+\|y\|\\&\leq 1 + 1 & \text{car sur } S(0, 1) \text{ on a toujours } \|x\|=1 \text{ et } \|y\|=1 \\&\leq 2\end{align} Mais on peut trouver x, y \in A tels que d(x, y) = 2, donc \displaystyle\max_{x, y \in A}d(x, y) = 2, et on a bien : \displaystyle\sup_{x, y \in A}d(x, y) = 2 Soit \mathrm{diam}(A) = 2

[!example] \mathrm{diam}(]0; 1]) sur (\mathbb{R}, |\cdot|) Soit I = ]0; 1] \subset \mathbb{R} Soit d(x, y) = |x - y| \mathrm{diam}(I) = 1

[!démonstration] Démonstration Soient x, y \in I quelconques y > 0 et x \leq 1 donc x-y \leq 1 - 0 = 1 De même, x > 0 et y \leq 1 donc -(x-y) = y - x \leq 1 On en déduit |x - y| \leq 1 soit d(x, y) \leq 1, et donc \mathrm{diam}(I) \leq 1 Maintenant, si x = 1 et y_{n} = \frac{1}{n} pour n \in \mathbb{N}^{*} \displaystyle d(x, y_{n}) = \left| 1 - \frac{1}{n} \right| = 1 - \frac{1}{n} On a donc : \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad d(x, y_{n}) \leq \mathrm{diam}(I) \leq 1 Donc, \displaystyle\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad 1 - \frac{1}{n} \leq \mathrm{diam}(I) \leq 1 Et donc, quand n \to +\infty on a 1 \leq \mathrm{diam}(I) \leq 1, soit \mathrm{diam}(I)=1

[!example] \mathrm{diam}(\mathbb{R}) sur (\mathbb{R}, \|\cdot\|_{2}) \mathrm{diam}(\mathbb{R}) = +\infty

[!démonstration] Démonstration \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad \mathrm{diam}(\mathbb{R}) \geq d(-n, n) = 2n Donc, quand n \to +\infty, on a bien \mathrm{diam}(\mathbb{R}) \geq +\infty, soit \mathrm{diam}(\mathbb{R}) = +\infty