29 lines
1.6 KiB
Markdown
29 lines
1.6 KiB
Markdown
up:: [[règle d'Abel pour les intégrales]]
|
|
title::
|
|
#maths/analyse #démonstration
|
|
|
|
![[règle d'Abel pour les intégrales#^definition]]
|
|
|
|
On cherche à démontrer la règle d'Abel pour l'intégrale $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(t)g(t) \, dt$
|
|
|
|
Par IPP, on sait que :
|
|
$\displaystyle\int_{a}^{x} f(t)g(t) \, dt = \left[ f(t)G(t) \right]_{a}^{x} - \int_{a}^{x} f'(t)g(t) \, dt = f(x)G(x) - f(a)G(a) - \int_{a}^{+\infty} f'(t)G(t) \, dt$
|
|
|
|
Quand $x \to +\infty$, on a:
|
|
- $f(x)G(x) \to 0$ car $G$ est bornée et $\lim\limits_{ x \to +\infty } f(x) = 0$
|
|
- $f(a)G(a)$ est constant (ne dépend pas de $x$)
|
|
Donc, la convergence de l'intégrale
|
|
Montrons l'absolue convergence de $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f'(t)G(t) \, dt$ :
|
|
On sait que :
|
|
- $f'$ est négative car $f$ est décroissante
|
|
- $\exists M \in \mathbb{R}, \quad \forall x \in [a; +\infty[, \quad |G(x)| \leq M$ (Il existe un $M$ tel que $G$ est majoré par $M$ et minoré par $-M$)
|
|
On en déduit que :
|
|
$\displaystyle\int_{a}^{x} \left| f'(t)G(t) \right| \, dt \leq -M \int_{a}^{x} f'(t) \, dt = -M \left( f(x) - f(a) \right)$
|
|
Or, puisque $\lim\limits_{ x \to +\infty }f(x) = 0$, on sait que $\lim\limits_{ x \to +\infty } \big(-M(f(x) - f(a))\big) = Mf(a)$
|
|
Donc :
|
|
$\displaystyle\lim\limits_{ x \to +\infty } \int_{a}^{x} |f'(t)G(t)| \, dt \leq 0$
|
|
On en déduit que $f'G = O_{+\infty}(-f')$
|
|
Donc l'intégrale de $f'G$ à la même convergence que celle de $-f'$
|
|
Or, $\lim\limits_{ x \to +\infty }f(x) = 0$, donc $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f'(x) \, dx$ converge.
|
|
Alors, on peut déduire que $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f'(t)G(t) \, dt$ est absolument convergente. $\text{CQFD.}$
|