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!règle d'Abel pour les intégrales#^definition

On cherche à démontrer la règle d'Abel pour l'intégrale \displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(t)g(t) \, dt

Par IPP, on sait que : \displaystyle\int_{a}^{x} f(t)g(t) \, dt = \left[ f(t)G(t) \right]_{a}^{x} - \int_{a}^{x} f'(t)g(t) \, dt = f(x)G(x) - f(a)G(a) - \int_{a}^{+\infty} f'(t)G(t) \, dt

Quand x \to +\infty, on a:

• f(x)G(x) \to 0 car G est bornée et \lim\limits_{ x \to +\infty } f(x) = 0
• f(a)G(a) est constant (ne dépend pas de x) Donc, la convergence de l'intégrale Montrons l'absolue convergence de \displaystyle \int_{a}^{+\infty} f'(t)G(t) \, dt : On sait que :
• f' est négative car f est décroissante
• \exists M \in \mathbb{R}, \quad \forall x \in [a; +\infty[, \quad |G(x)| \leq M (Il existe un M tel que G est majoré par M et minoré par -M) On en déduit que : \displaystyle\int_{a}^{x} \left| f'(t)G(t) \right| \, dt \leq -M \int_{a}^{x} f'(t) \, dt = -M \left( f(x) - f(a) \right) Or, puisque \lim\limits_{ x \to +\infty }f(x) = 0, on sait que \lim\limits_{ x \to +\infty } \big(-M(f(x) - f(a))\big) = Mf(a) Donc : \displaystyle\lim\limits_{ x \to +\infty } \int_{a}^{x} |f'(t)G(t)| \, dt \leq 0 On en déduit que f'G = O_{+\infty}(-f') Donc l'intégrale de f'G à la même convergence que celle de -f' Or, \lim\limits_{ x \to +\infty }f(x) = 0, donc \displaystyle\int_{a}^{+\infty} f'(x) \, dx converge. Alors, on peut déduire que \displaystyle\int_{a}^{+\infty} f'(t)G(t) \, dt est absolument convergente. \text{CQFD.}