cours/démonstration que la norme de manhattan est bien une norme.md

up:: norme de manhattan #maths/algèbre

On cherche à montrer que la norme de manhattan \|x\|_{1} = \sum\limits_{i=1}^{n} (|x_{i}|) est bien une norme

Quel que soit x \in \mathbb{R}^{n} : \|x\|_{1} = \underbrace{|x_1|}_{\geq 0} + \underbrace{|x_2|}_{\geq 0} + \cdots + \underbrace{|x_{n}|}_{\geq 0} \geq 0

Si x \in \mathbb{R}^{n} est tel que \|x\|_{1} = 1, alors \sum\limits_{i=1}^{n} (|x_i|) = 0 Or, une somme de termes positifs est nulle ssi chacun de ses termes est nul. Donc si \|x\|_{1} = 0, alors tous les x_{i} sont nuls, et donc x = 0_{\mathbb{R}^{n}}