up:: [[norme de manhattan]]
#maths/algèbre 

On cherche à montrer que la [[norme de manhattan]] $\|x\|_{1} = \sum\limits_{i=1}^{n} (|x_{i}|)$ est bien une norme

Quel que soit $x \in \mathbb{R}^{n}$ :
$\|x\|_{1} = \underbrace{|x_1|}_{\geq 0} + \underbrace{|x_2|}_{\geq 0} + \cdots + \underbrace{|x_{n}|}_{\geq 0} \geq 0$

Si $x \in \mathbb{R}^{n}$ est tel que $\|x\|_{1} = 1$, alors $\sum\limits_{i=1}^{n} (|x_i|) = 0$
Or, une somme de termes positifs est nulle ssi chacun de ses termes est nul.
Donc si $\|x\|_{1} = 0$, alors tous les $x_{i}$ sont nuls, et donc $x = 0_{\mathbb{R}^{n}}$